13886. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, а A'
, B'
и C'
— центры описанных окружностей треугольников BCO
, CAO
и ABO
соответственно. Докажите, что площадь треугольника ABC
не больше площади треугольника A'B'C'
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Поскольку треугольник ABC
остроугольный, точка O
расположена внутри него. Тогда центральный угол BOC
вдвое больше вписанного угла BAC
, а т.к, прямая OA'
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
, то
\angle COA'=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot2\alpha=\alpha.
Аналогично,
\angle COB'=\beta,~\angle AOC'=\gamma.
Из равнобедренных треугольников BOC
и AOC
получаем
OA'=\frac{\frac{1}{2}OC}{\cos\angle AOC'}=\frac{R}{2\cos\alpha},~OB'=\frac{\frac{1}{2}OC}{\cos\angle COB'}=\frac{R}{2\cos\beta}.
Тогда
S_{\triangle A'OB'}=\frac{1}{2}OA'\cdot OB'\sin\angle A'OB'=\frac{1}{2}\cdot\frac{R}{2\cos\alpha}\cdot\frac{R}{2\cos\beta}\cdot\sin(\alpha+\beta)=
=\frac{R^{2}\sin\gamma}{8\cos\alpha\cos\beta}.
Аналогично,
S_{\triangle B'OC'}=\frac{R^{2}\sin\alpha}{8\cos\beta\cos\gamma},~S_{\triangle A'OC'}=\frac{R^{2}\sin\beta}{8\cos\alpha\cos\gamma}.
Поскольку
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma=
=\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)+\sin\gamma\cos\gamma=(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma)\sin\gamma=
=2\cos\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}\sin\gamma=
=2\cos\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\gamma=
=2\cos(90^{\circ}-\beta)\cos(90^{\circ}-\alpha)\sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
S_{\triangle ABC}=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 4258) и
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8}
(см. задачу 3253), то
S_{\triangle A'B'C}=S_{\triangle A'OB'}+S_{\triangle B'OC'}+S_{\triangle A'OC'}=
=\frac{R^{2}\sin\gamma}{8\cos\alpha\cos\beta}+\frac{R^{2}\sin\alpha}{8\cos\beta\cos\gamma}+\frac{R^{2}\sin\beta}{8\cos\alpha\cos\gamma}=
=\frac{R^{2}(\sin\alpha\cos\alpha+\sin\beta\cos\beta+\sin\gamma\cos\gamma)}{8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}=
=\frac{R^{2}(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma)}{16\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}=\frac{2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}=
=\frac{S_{\triangle ABC}}{8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}\geqslant S_{\triangle ABC}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 7, задача 4, с. 448
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2006