13894. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\gt AC
и \angle BAC=60^{\circ}
. Прямая, проведённая через ортоцентр H
и центр O
описанной окружности треугольника ABC
, пересекает AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что PO=HQ
.
Решение. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, поэтому angleC\gt\angle B
. Тогда
\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-\angle B\gt120^{\circ}-\angle C,
откуда \angle C\gt60^{\circ}
. Тогда (см. задачу 20)
\angle OAP=\angle HAQ\lt30^{\circ}.
Следовательно, точка H
лежит между O
и Q
.
Пусть M
— середина стороны BC
, а радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Этот треугольник остроугольный, поэтому
\angle BPM=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot2\angle BAC=60^{\circ}.
Значит,
OM=OB\cos\angle BOM=R\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}R.
Тогда (см. задачу 1257)
AH=2OM=R=OA,
т. е. треугольник AOH
равнобедренный, и
\angle AOP=180^{\circ}-\angle AOH=180^{\circ}-\angle AHO=\angle AHQ,
а так как \angle OAP=\angle HAQ
(см. задачу 20), то треугольники AOP
и AQH
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, PO=HQ
. Что и требовалось доказать.