13906. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём прямые BD
, CE
и биссектриса AA'
треугольника ABC
пересекаются в точке P
, лежащей внутри треугольника. Докажите, что четырёхугольник ADPE
описанный тогда и только тогда, когда AB=AC
.
Решение. Достаточность. Пусть AB=AC
. Тогда A'
— середина стороны BC
. По теореме Чевы
1=\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{AE}{AB-AE}\cdot\frac{AC-AD}{AD}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{AE}{AB-AE}=\frac{AD}{AC-AD}~\Rightarrow~AE(AC-AD)=AD(AB-AE)~\Rightarrow
\Rightarrow~AE\cdot AC-AE\cdot AD=AD\cdot AB-AD\cdot AE~\Rightarrow
\Rightarrow~AE(AC+AD-AD)=AD\cdot AB~\Rightarrow~AE\cdot AC=AD\cdot AB,
а так как AC=AB
, то AE=AD
.
Треугольники AEP
и ADP
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому EP=DP
. Тогда
AE+DP=AD+EP.
Следовательно, в четырёхугольник ADPE
можно вписать окружность (см. задачу 364). Что и требовалось доказать.
Необходимость. Пусть в четырёхугольник ADPE
можно вписать окружность. Тогда её центр лежит на биссектрисе угла BAC
(см. задачу 1724), т. е. на луче AP
и на луче PA
. Треугольники AEP
и ADP
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AE=AD
, а так как AA'
— биссектриса треугольника ABC
, то \frac{AB}{AC}=\frac{BA'}{A'C}
. Тогда по теореме Чевы
1=\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{AD}{EB}\cdot\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BE}{CD},
поэтому
AB\cdot CD=AC\cdot BE~\Rightarrow~AB(AC-AE)=AC(AB-AE)~\Rightarrow
\Rightarrow~AB\cdot AE=AC\cdot AE~\Rightarrow~AB=AC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 8, задача 2, с. 521
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2007