13914. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно, а x
, y
и z
— произвольные положительные числа. Докажите, что
\frac{y+z}{x}\cdot\frac{1}{a^{2}}+\frac{z+x}{y}\cdot\frac{1}{b^{2}}+\frac{x+y}{z}\cdot\frac{1}{c^{2}}\geqslant\frac{1}{Rr}.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника. Выражая двумя способами площадь треугольника получим \frac{abc}{4R}=pr
(см. задачи 4259 и 452), откуда abc=4Rrp
. Следовательно,
\frac{y+z}{x}\cdot\frac{1}{a^{2}}+\frac{z+x}{y}\cdot\frac{1}{b^{2}}+\frac{x+y}{z}\cdot\frac{1}{c^{2}}=
=\left(\frac{x}{y}\cdot\frac{1}{a^{2}}+\frac{y}{x}\cdot\frac{1}{b^{2}}\right)+\left(\frac{z}{y}\cdot\frac{1}{b^{2}}+\frac{y}{z}\cdot\frac{1}{c^{2}}\right)+\left(\frac{x}{z}\cdot\frac{1}{c^{2}}+\frac{z}{x}\cdot\frac{1}{a^{2}}\right)\geqslant
\geqslant2\sqrt{\left(\frac{x}{y}\cdot\frac{1}{a^{2}}\right)\left(\frac{y}{x}\cdot\frac{1}{b^{2}}\right)}+2\sqrt{\left(\frac{z}{y}\cdot\frac{1}{b^{2}}\right)\left(\frac{y}{z}\cdot\frac{1}{b^{2}}\right)}+2\sqrt{\left(\frac{x}{z}\cdot\frac{1}{c^{2}}\right)\left(\frac{z}{x}\cdot\frac{1}{a^{2}}\right)}=
=\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=\frac{2(a+b+c)}{abc}=\frac{4p}{4Rrp}=\frac{1}{Rr}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 6, задача 3660, с. 256