13917. Диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
, а прямая, проходящая через точку M
и середину стороны BC
, пересекает AD
в точке Q
. Докажите, что MQ
— перпендикуляр к AD
тогда и только тогда, когда прямые AD
и BC
параллельны (в этом случае ABCD
— равнобедренная трапеция или прямоугольник) или диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Решение. Пусть P
— середина стороны BC
.
Достаточность. Пусть AD\parallel BC
. Тогда ABCD
— равнобедренная трапеция с основаниями AD
и BC
(или прямоугольник). В этом случае прямая MP
— общий серединный перпендикуляр к отрезкам BC
и AD
. Следовательно, MQ\perp AD
.
Пусть AC\perp BD
. Тогда (см. примечание к задаче 369) прямая, проходящая через середину стороны BC
и точку M
, перпендикулярна AD
.
Что и требовалось доказать.
Необходимость.
Пусть MQ\perp AD
. Отметим точки D'
, Q'
и A'
, симметричные точкам соответственно D
, Q
и A
относительно прямой, содержащей биссектрисы вертикальных углов DMC
и AMB
. Поскольку точки D
, Q
и A
лежат на одной прямой, точки D
, Q
и A
точки D'
, Q'
и A'
тоже лежат на одной прямой, причём MQ'\perp A'D'
, так как MQ\perp AD
.
Из равенства вписанных углов ADB
и ACB
следует, что
\angle A'D'M=\angle ADM=\angle ADB=\angle ACB=\angle MCB,
поэтому A'D'\parallel BC
. Тогда при гомотетии с центром M
, переводящей точку B
в A'
, точка C
перейдёт в D'
, а середина P
отрезка BC
— в середину P'
отрезка A'D'
.
Если точка P'
совпадёт с точкой Q'
, то MP'\perp A'D'
, поэтому MP\perp BC
, а так как PQ\perp AD
, то AD\parallel BC
.
Если же точки P'
и A'
различны, то
\angle A'MP'=\angle DMQ=\angle D'MQ'.
При этом MA'\ne MD'
. Следовательно,
\angle BMC=\angle A'MD'=90^{\circ}
(см. задачу 84).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 7, задача 3665 (2011, с. 388, 390), с. 293