13925. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
, точка O
— середина гипотенузы BC
. Точка K
лежит на высоте AH
треугольника, причём \angle BKC=135^{\circ}
. Точка L
— вершина прямоугольника AHCL
. Докажите, что OL=OB+KH
.
Решение. Обозначим BC=a
и KH=x
. Тогда
OB+KH=\frac{a}{2}+x,~OL=\sqrt{CL^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{AH^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}.
Достаточно доказать, что
OL^{2}=(OB+KH)^{2},
т. е.
AH^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}+x\right)^{2},~\mbox{или}~AH^{2}=ax+x^{2}=x(a+x).
Опишем окружность \omega
с центром O'
около треугольника BKC
. Поскольку \angle BKC=135^{\circ}
, хорда BC
этой окружности видна из точки O'
под углом
\angle BO'C=360^{\circ}-2\cdot135^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, BC
— сторона квадрата BCC'B'
, вписанного в окружность \omega
.
Пусть луч KH
пересекает отрезок B'C'
в точке H'
, а окружность \omega
— в точке K'
. Из симметрии
KH'=KH+HH'=KH+BB'=KH+BC=x+a.
Тогда (см. задачу 2627)
BH\cdot HC=KH\cdot HK'=x(a+x).
Следовательно (см. задачу 2728),
AH^{2}=BH\cdot HC=x(a+x).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 2, задача 3720 (2012, с. 65, 67), с. 109