13930. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, \Gamma
— описанная окружность этого треугольника. Точка P
лежит на дуге BC
, не содержащей вершину A
, точка M
лежит на дуге AC
, не содержащей вершину B
, причём точка H
лежит на отрезке PM
. Через точку M
проведена хорда MK
, параллельная прямой s
Симсона точки P
и треугольника ABC
. Через точку P
проведена хорда PQ
, параллельная BC
. Отрезки BC
и KQ
пересекаются в точке J
. Докажите, что треугольник KJM
равнобедренный.
Решение. Пусть хорда PD
окружности \Gamma
, перпендикулярная стороне BC
, пересекает сторону BC
в точке E
, отрезки BC
и MP
пересекаются в точке F
, а луч AH
пересекает окружность \Gamma
в точке G
.
Далее воспользуемся следующими фактами. Прямая AD
параллельна прямой s
(см. задачу 6089); точки G
и H
симметричны относительно прямой BC
(см. задачу 4785).
Поскольку AD\parallel s\parallel KM
, дуги ADK
и DAM
равны, а так как четырёхугольник ABGC
вписан в окружность \Gamma
, то
\angle AGK=\angle MPD=\angle FPE=\angle FHG=\angle AGF.
поэтому точки F
, G
и K
лежат на одной прямой. Тогда
\angle JKM=\angle QKM=\angle QPM=\angle JFM,
поэтому точки F
, J
, M
и K
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Значит,
\angle KMJ=180^{\circ}-(\angle JKM+\angle MJK)=180^{\circ}-(\angle JFM+\angle MFK)=
=180^{\circ}-\angle JFK=\angle KFB=\angle GFJ=\angle JFH=\angle JFM=\angle JKM.
Следовательно, треугольник KJM
равнобедренный. Что и требовалось доказать.