13937. Вершины треугольника ABC
лежат на окружности радиуса R
. Две медианы треугольника равны R
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. \frac{R\sqrt{7}}{2}
, \frac{R\sqrt{2}}{2}
, \frac{R\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть медианы треугольника ABC
, проведённые из вершин A
и B
, пересекаются в точке G
и равны R
, а M
— середина стороны AB
.
Треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
(см. задачу 1904). Значит, прямая CM
— серединный перпендикуляр к стороне AB
, и поэтому на этой прямой лежит центр O
описанной окружности треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников AMO
и AMG
получаем
AO^{2}-OM^{2}=AG^{2}-GM^{2}.
Пусть GM=x
. Тогда MC=3x
(см. задачу 1207), а так как OC=OA=R
, то
OM=|MC-OC|=|3x-R|.
Тогда
AO^{2}-OM^{2}=AG^{2}-GM^{2}~\Leftrightarrow~r^{2}-(3x-R)^{2}=\left(\frac{2}{3}R\right)^{2}-x^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~36R^{2}-27Rx+2R^{2}=0~\Leftrightarrow~36\left(R-\frac{2}{3}x\right)\left(R-\frac{1}{12}x\right)=0.
Значит, либо R=\frac{2}{3}x
, что невозможно, так как тогда \frac{2}{3}x=AG\gt GM=x
, либо R=\frac{1}{12}x
. Следовательно,
AB=2AM=2\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=2\sqrt{R^{2}-\left(\frac{1}{4}R-R\right)^{2}}=
=2\sqrt{R^{2}-\left(\frac{3}{4}R\right)^{2}}=\frac{R\sqrt{7}}{2},
BC=AC=\sqrt{AM^{2}+MC^{2}}=\sqrt{\left(\frac{R\sqrt{7}}{4}\right)^{2}+\left(\frac{R}{4}\right)^{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 9, задача CC42, с. 394