13943. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
, радиус описанной окружности равен R
, радиусы вневписанных окружностей с центрами I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно, равны r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
соответственно. Вневписанная окружность с центром I_{a}
касается стороны BC=a
в точке K
, продолжений сторон AC=b
и AB=c
— в точках L
и M
соответственно, а площадь треугольника KLM
равна S_{a}
. Аналогично определяются S_{b}
и S_{c}
. Докажите, что
\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{S}=\frac{r_{a}+r_{b}+r_{c}}{2R}.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Четырёхугольники MI_{a}KB
, I_{a}LCK
и MI_{a}LA
вписанные, поэтому
\angle MI_{a}K=\angle ABC=\alpha,~\angle KI_{a}L=\angle ACB=\gamma,~\angle MI_{a}L=180^{\circ}-\angle BAC=\alpha.
Тогда
S_{a}=S_{\triangle I_{a}KM}+S_{\triangle I_{a}LK}-S_{\triangle I_{a}LM}=
=\frac{1}{2}r^{2}\sin\beta+\frac{1}{2}r^{2}\sin\gamma-\frac{1}{2}r^{2}\sin(180^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}r^{2}(\sin\beta+\sin\gamma-\sin\alpha)=\frac{1}{2}r^{2}\left(\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}-\frac{a}{2R}\right)=
=\frac{1}{2}r^{2}\cdot\frac{b+c-a}{2R}=\frac{r_{a}}{2R}\cdot r_{a}(p-a)=\frac{r_{a}}{2R}\cdot S
(см. задачи 23 и 392). Аналогично,
S_{b}=\frac{r_{b}}{2R}\cdot S,~S_{c}=\frac{r_{c}}{2R}\cdot S.
Сложив эти три равенства, получим
\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{S}=\frac{r_{a}+r_{b}+r_{c}}{2R}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 1, задача 3808, с. 41