13990. Медианы AD
и BE
треугольника ABC
пересекаются в точке G
. Докажите, что если четырёхугольник CDGE
вписанный, то \ctg\angle BAC=\frac{2AC^{2}-AB^{2}}{4S_{\triangle ABC}}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
и S_{\triangle ABC}=S
. Тогда
\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc},~\sin\alpha=\frac{2S}{bc}.
Значит,
\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}}{\frac{2S}{bc}}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}.
Пусть AD=m_{a}
. Из равенства AE\cdot AC=AG\cdot AD
(см. задачу 2636) получаем \frac{1}{2}b\cdot b=\frac{2}{3}m_{a}\cdot m_{a}
, откуда m_{a}^{2}=\frac{3}{4}b^{2}
. Тогда (см. задачу 4014)
m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4},~\mbox{или}~\frac{3}{4}b^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4},
откуда
a^{2}=2c^{2}-b^{2}.
Следовательно,
\ctg\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}=\frac{b^{2}+c^{2}-(2c^{2}-b^{2})}{4S}=\frac{2b^{2}-c^{2}}{4S}.
Что и требовалось доказать.