14029. В цилиндр помещены четыре попарно касающиеся сферы радиуса 1, причём каждая сфера касается боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего, а две другие — верхнего основания. Найдите радиус и высоту цилиндра.
Ответ. 2; 2+\sqrt{2}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— центры сфер. Тогда ABCD
— правильный тетраэдр с ребром 2. Его описанный параллелепипед (см. задачу 7041) — куб с ребром \sqrt{2}
(см. задачу 7097). Рассмотрим цилиндр, основания которого — две противоположные грани этого куба, а образующая — ребро куба, не лежащее в этих гранях. Радиус r
этого цилиндра равен радиусу окружности, описанной около грани куба, т. е. r=1
, а образующая h
равна ребру куба, т. е. h=\sqrt{2}
.
Радиус R
цилиндра, о котором говорится в условии задачи, на 1 больше r
, а образующая H
— на 2 больше h
. Следовательно,
R=r+1=2,~H=h+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}.