14081. Основание призмы — ромб. Ортогональная проекция одной из вершин верхнего основания совпадает с центром нижнего. В призму вписан шар радиуса R
. Найдите наименьший возможный объём призмы.
Ответ. \frac{32}{3}R^{3}
.
Решение. Поскольку в призму вписан шар, её грани равновелики (см. задачу 8844). Пусть сторона основания ABCD
данного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна a
, площадь основания параллелепипеда (как и площади всех его шести граней) равна S
, его объём равен V
, точка O
(центр ромба ABCD
) — ортогональная проекция вершины A_{1}
параллелепипеда на плоскость нижнего основания. Отрезок AA_{1}=2R
— высота параллелепипеда, OH
— высота прямоугольного треугольника AOB
.
По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}H\perp AB
, поэтому OHA_{1}
— линейный угол двугранного угла параллелепипеда при ребре AB
. Пусть B_{1}'
— ортогональная проекция вершины B_{1}
на плоскость основания ABCD
. Тогда параллелограмм ABB_{1}'O
— ортогональная проекция боковой грани ABB_{1}A_{1}
на эту плоскость. По теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093)
\cos\angle OHA_{1}=\frac{S_{ABB_{1}'O}}{S_{ABB_{1}A_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}S}{S}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \angle OHA_{1}=60^{\circ}
.
Обозначим \angle BAO=\alpha
, OA=x
. Из прямоугольных треугольников OHA_{1}
и AOB
получаем
OH=\frac{A_{1}O}{\sqrt{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}},~\cos\alpha=\frac{OA}{AB}=\frac{x}{a},~\sin\alpha=\frac{OH}{OA}=\frac{2R}{x\sqrt{3}},
а так как \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1
, то
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{4R^{2}}{3x^{2}}=1,
откуда a^{2}=\frac{3x^{4}}{3x^{2}-4R^{2}}
.
Поскольку V=S\cdot A_{1}O=S\cdot2R=2RS
, то объём будет наименьшим при наименьшем a
. Значит, задача сводится к нахождению наименьшего возможного значения a
.
Обозначим x^{2}=t
и рассмотрим функцию f(t)=\frac{3t^{2}}{3t^{2}-4R^{2}}
на луче [\frac{4}{3}R^{2};\infty]
. Тогда
f'(t)=\frac{2t(3t-4R^{2})-3t^{2}}{(3t-4R^{2})^{2}}=\frac{3t^{2}-8tR}{(3t-4R^{2})^{2}}=0.
Единственная критическая точка на рассматриваемом луче — это t=\frac{8}{3}R
. При \frac{4}{3}R^{2}\leqslant\frac{8}{3}R^{2}
производная отрицательна, а при t\gt\frac{8}{3}R^{2}
— положительна, следовательно, в этой точке функция принимает наименьшее значение. Тогда в этой точке принимает наименьшее значение величина a
, а значит, и V
. Таким образом, в этом случае
a^{2}=\frac{3x^{4}}{3x^{2}-4R^{2}}=\frac{3t^{2}}{3t^{2}-4R^{2}}=\frac{3\cdot\frac{64}{9}R^{4}}{3\cdot\frac{3}{8}R^{2}-4R^{2}}=\frac{16}{3}R^{2},~a=\frac{4R}{\sqrt{3}},
V=2RS=2R\cdot2OH\cdot AB=2R\cdot\frac{4R}{\sqrt{3}}\cdot a=\frac{8R^{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4R}{\sqrt{3}}=\frac{32}{3}R^{3}.
Источник: Вышенский В. А. и др. Сборник задач киевских математических олимпиад. — Киев: Вища школа, 1984. — № 591, с. 53