14085. В прямую треугольную призму ABCA_{1}B_{1}C_{1}
вписана сфера. Известно, что AB=15
, BC=7
, AC=20
. Найдите радиус сечения сферы плоскостью A_{1}BC
.
Ответ. \frac{2\sqrt{15}}{5}
.
Решение. Радиус r
сферы равен радиусу вписанной окружности основания ABC
призмы. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр. Тогда
p=\frac{15+7+20}{2}=21,~S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot6\cdot14\cdot1}=42.
Следовательно (см. задачу 452),
r=\frac{S}{p}=\frac{42}{21}=2.
Через центр O
сферы проведём плоскость, параллельную основанию призмы. Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— точки пересечения этой плоскости с рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
соответственно, K
и N
— с отрезками соответственно A_{2}B_{2}
и A_{2}C_{2}
. Тогда KN
— средняя линия треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
.
Пусть E
— точка касания вписанной окружности треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
со стороной B_{2}C_{2}
, а M
— точка пересечения прямой OE
со средней линией KN
. Тогда отрезок EM
равен половине высоты h
треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
, проведённой из вершины A_{2}
, т. е.
EM=\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}\cdot\frac{2S}{B_{2}C_{2}}=\frac{S}{BC}=\frac{42}{7}=6.
Пусть D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на ребро BC
. Тогда прямая B_{2}C_{2}
перпендикулярна плоскости DEM
, так как эта плоскость перпендикулярна пересекающимся прямым DE
и ME
. Прямая BC
, параллельная B_{2}C_{2}
, тоже перпендикулярна плоскости DEM
, а так как через BC
проходит плоскость A_{1}BC
, то плоскости DEM
и A_{1}BC
перпендикулярны (см. задачу 7710). Следовательно, перпендикуляр OF
, опущенный из центра сферы на прямую DM
пересечения этих плоскостей, — перпендикуляр к плоскости A_{1}BC
. При этом F
— центр окружности сечения призмы плоскостью A_{1}BC
.
Поскольку
OM=ME-OE=6-r=6-2=4,~DE=r=2,
находим, что
DM=\sqrt{EM^{2}+DE^{2}}=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}.
Тогда из подобия прямоугольных треугольников OFM
и DEM
получаем \frac{OF}{OM}=\frac{DE}{DM}
, откуда
OF=\frac{OM\cdot DE}{DM}=\frac{4\cdot2}{2\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}.
Пусть P
— произвольная точка, лежащая на окружности радиуса r_{1}
сечения, о котором говорится в условии. Тогда
r_{1}=FP=\sqrt{OP^{2}-OF^{2}}=\sqrt{2^{2}-\left(\frac{4}{\sqrt{10}}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}.