14097. Рассматриваются четырёхугольные пирамиды MABCD
со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC=1
, CD=DA=2
, а каждая из плоскостей боковых граней MAB
, MBC
, MCD
, MDA
составляет угол 45^{\circ}
с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины M
, равна \frac{9}{5}
.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
Ответ. а) \frac{27}{25}
; б) \frac{4}{3}
.
Решение. Пусть MH=h
— высота пирамиды, P
— проекция вершины M
на прямую AB
. Тогда MHP
— прямоугольный треугольник с углом MPH=45^{\circ}
, поэтому HP=MH=h
. Аналогично доказывается, что точка H
удалена от каждой из прямых BC
, CD
и DA
на расстояние r=h
. Это значит, что окружность радиуса r
с центром H
касается прямых AB
, BC
, CD
и DA
.
Треугольники BAD
и BCD
равны по трём сторонам, поэтому четырёхугольник ABCD
симметричен относительно диагонали BD
. Пусть S
— его площадь. Тогда
S=2S_{\triangle BAD}=AB\cdot AD\sin\angle BAD\leqslant AB\cdot AD=2.
Равенство достигается, когда \angle BAD=90^{\circ}
, поэтому S_{\max}=2
.
Точка H
лежит на биссектрисе каждого из внутренних или внешних углов четырёхугольника ABCD
. Лучи BD
и DB
— биссектрисы углов соответственно ABC
и ADC
. Биссектрисы внешних углов при вершинах B
и D
параллельны (см. задачу 1174), поэтому точка H
обязана лежать на прямой BD
.
Обозначим через I
и J
точки пересечения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине A
с прямой BD
. Тогда I
— центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD
(пусть её радиус равен r_{1}
), а J
— центр окружности, касающейся продолжений сторон четырёхугольника ABCD
(вневписанной окружности, пусть её радиус равен r_{2}
). Тогда (см. задачу 523) площадь описанного четырёхугольника может быть задана формулой
S=\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\cdot r_{1}=3r_{1},
откуда r_{1}=\frac{1}{3}S
. Также
S=S_{\triangle ADJ}+S_{\triangle ADJ}+S_{\triangle CDJ}-S_{\triangle ABJ}-S_{\triangle CBJ}=\frac{AD+CD-AB-BC}{2}\cdot r_{2}=r_{2}
Пирамида удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда: 1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности (т. е. точка H
совпадает с I
) и при этом её длина равна MH=h=r_{1}=\frac{1}{3}S
; 2) высота проходит через центр вневписанной окружности (т. е. точка H
совпадает с J
) и MH=h=r_{2}=S
.
а) При h=\frac{9}{5}
первый случай невозможен, так как
S=3r_{1}=3h=\frac{27}{5}\gt2.
Поэтому остаётся второй случай. Тогда
S=r_{2}=h=\frac{9}{5},~V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot h^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{81}{25}=\frac{27}{25}.
б) В первом и во втором случае
V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sr_{1}=\frac{1}{3}S\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{9}S^{2},
V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sr_{2}=\frac{1}{3}S\cdot S=\frac{1}{3}S^{2}.
Наибольший объём
V_{\max}=\frac{S_{\max}^{2}}{3}=\frac{4}{3}.