14118. В треугольной пирамиде SABC
из вершины S
опустили высоту SH
. Известно, что SH=6
, AC\gt BC
, AB\lt AC
. Сфера, построенная на отрезке SH
как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды, и её радиус равен 3.
а) Найдите ребро AC
и угол ABC
.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину B
и середину ребра SC
, касается сферы. Найдите объём пирамиды SABC
.
Ответ. AC=12
, \angle ABC=90^{\circ}
, V=36\sqrt{3}
.
Решение. а) Поскольку сфера построена на высоте пирамиды как на диаметре, она касается плоскости основания ABC
. Значит, сфера имеет с плоскостью ABC
ровно одну общую точку H
и эта точка является серединой одного из рёбер. Поскольку сфера проходит через середины четырёх рёбер пирамиды, она также пересекает отрезки SA
, SB
, SC
в их серединах — точках K
, L
, M
соответственно.
Пусть O
— центр сферы, R=\frac{1}{2}SH=3
— её радиус. Из касания сферы с плоскостью ABC
следует, что SH\perp AH
, SH\perp BH
, SH\perp CH
. Значит, треугольники AHS
, BHS
и CHS
прямоугольные. Отрезки OK
, OL
, OM
— их средние линии. Следовательно,
AH=2OK=2R,~BH=2OL=2R,~CH=2OM=2R.
По теореме Пифагора находим, что
SA=SB=SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{4R^{2}+4R^{2}}=2R\sqrt{2}.
Предположим, что H
— середина ребра BC
. Тогда медиана AH
треугольника ABC
равна половине стороны BC
, значит, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине A
(см. задачу 1188), т. е. отрезок BC
— самая длинная сторона треугольника ABC
, что противоречит условию. Аналогично, точка H
не может быть серединой AB
. Следовательно, H
— середина ребра AC
. Тогда
AC=AH+HC=2R+2R=4R=4\cdot3=12,~\angle ABC=90^{\circ}.
б) Отрезки BM
и BH
равны как отрезки касательных к сфере, проведённых из одной точки, т. е. BM=BH=2R
. По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014) получаем
4BM^{2}=2BS^{2}+2BC^{2}-SC^{2},~\mbox{или}~16R^{2}=2\cdot8R^{2}+2BC^{2}-8R^{2},
откуда BC=2R
. Тогда
AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{16R^{2}-4R^{2}}=2R\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AB\cdot SH=\frac{1}{6}\cdot2R\cdot2R\sqrt{3}\cdot2R=
=\frac{4}{3}R^{3}\sqrt{3}=\frac{4}{3}\cdot27\sqrt{3}=36\sqrt{3}.