14152. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона основания ABCDEF
равна 2\sqrt{3}
, а высота SO
пирамиды равна 4. В боковой грани SCD
провели медиану CK
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ACK
делит ребро SE
в отношении 2:3
, считая от вершины S
.
б) Найдите расстояние между прямыми AF
и CK
.
Ответ. 4,8.
Решение. а) Пусть прямые AC
и DE
пересекаются в точке T
. Тогда
\angle CTD=\angle ATE=\angle CAB=30^{\circ},~\angle DCT=\angle ACD=90^{\circ},
поэтому DT=2CD=2DE
.
Пусть P
— точка пересечения прямых TK
и SE
. Тогда T
— точка пересечения секущей плоскости с ребром SE
. Через точку D
параллельно TP
проведём прямую, пересекающую SE
в точке N
. По теореме о пропорциональных отрезках
EN:NP=ED:DT=1:2,~NP:PS=DK:KS=1:1,
поэтому, если EN=t
, то NP=2t
и SP=PN=2t
. Следовательно, SP:PE=2t:3t=2:3
.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми AF
и CK
есть расстояние между прямой AF
и плоскостью CSD
, которая параллельна прямой AF
и содержит прямую CK
. Это расстояние равно расстоянию от любой точки прямой AF
, например, от середины L
отрезка AF
, до плоскости CSD
. В свою очередь оно вдвое больше расстояния от точки O
до этой плоскости, так как O
— середина отрезка LH
, где H
— середина ребра CD
(см. задачу 9180).
Пусть OG
— высота равнобедренного треугольника ASH
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости CSD
. В прямоугольном треугольнике SOH
известно, что
OH=\frac{CD\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3,~
SH=\sqrt{SO^{2}+OH^{2}}=\sqrt{16+9}=5.
Значит (см. задачу 1967),
OG=\frac{SO\cdot OH}{SH}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5}.
Следовательно, искомое расстояние между прямыми AF
и CK
равно
2\cdot OG=\frac{24}{5}=4{,}8.