14154. Основание пирамиды SABC
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Высота пирамиды проходит через точку A
. Точки E
и F
лежат на рёбрах AC
и BS
соответственно, причём AE:EC=SF:FB=1:2
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \alpha
, проходящей через точки E
и F
перпендикулярно прямой AC
, — прямоугольник.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые секущая плоскость делит пирамиду SABC
.
Ответ. \frac{7}{20}
.
Решение. а) Пусть H
и M
— точки пересечения плоскости \alpha
с прямыми AB
и CS
соответственно. Прямые EH
и BC
параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой AC
. Поэтому треугольники AEH
и ACB
подобны по двум углам, EH=\frac{1}{3}BC
, AE=\frac{1}{3}AC
.
Плоскость \alpha
проходит через прямую EH
, параллельную прямой BC
, а значит, плоскости SBC
(см. задачу 8002). Поэтому прямая пересечения плоскостей \alpha
и BSC
параллельна прямой BC
(см. задачу 8003). Следовательно, треугольники BSC
и FSM
подобны по двум углам, FM=\frac{1}{3}BC
, SM=\frac{1}{2}SC
. Таким образом, отрезки FM
и EH
равны и лежат на параллельных прямых. Следовательно, EHFM
— параллелограмм. Из того, что AE=\frac{1}{3}AC
и SM=\frac{1}{3}SC
следует, что CE:CA=2:3
и CM:SC=2:3
, поэтому треугольники CME
и CSA
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, углы CME
и CSA
равны. Тогда прямые ME
и SA
параллельны и отрезок ME
перпендикулярен отрезку AC
.
Таким образом, в параллелограмме EHFM
угол MEH
прямой, следовательно, это прямоугольник.
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, SA=h
. Плоскость \alpha
разбивает пирамиду на два пятигранника SFMAHE
и BCMFHE
. Пятигранник SFMAHE
можно достроить до прямой призмы SPQAEH
с основаниями AEH
и SPQ
, отложив на продолжениях отрезков EM
и HF
за точки M
и F
отрезки MP=FQ=\frac{h}{3}
, т. е. пристроив к этому пятиграннику четырёхугольную пирамиду SMPQF
с вершиной S
. Тогда
V_{SPQAEH}=S_{\triangle AEH}\cdot SA=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}abh=\frac{1}{18}abh,
V_{SMPQF}=\frac{1}{3}S_{MPQS}\cdot SP=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}a\cdot\frac{1}{3}h\cdot\frac{1}{3}b=\frac{1}{81}abh,
V_{SFMAHE}=V_{SPQAEH}-V_{SMPQF}=\frac{1}{18}abh-\frac{1}{81}abh=\frac{7abh}{162},
а так как
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot h=\frac{1}{6}abh,
то
\frac{V_{SFMAHE}}{V_{SABC}}=\frac{\frac{7abh}{162}}{\frac{1}{6}abh}=\frac{7}{27}.
Следовательно, искомое отношение объёмов частей исходной пирамиды равно \frac{7}{20}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2021