14154. Основание пирамиды
SABC
— прямоугольный треугольник
ABC
с прямым углом при вершине
C
. Высота пирамиды проходит через точку
A
. Точки
E
и
F
лежат на рёбрах
AC
и
BS
соответственно, причём
AE:EC=SF:FB=1:2
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью
\alpha
, проходящей через точки
E
и
F
перпендикулярно прямой
AC
, — прямоугольник.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые секущая плоскость делит пирамиду
SABC
.
Ответ.
\frac{7}{20}
.
Решение. а) Пусть
H
и
M
— точки пересечения плоскости
\alpha
с прямыми
AB
и
CS
соответственно. Прямые
EH
и
BC
параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой
AC
. Поэтому треугольники
AEH
и
ACB
подобны по двум углам,
EH=\frac{1}{3}BC
,
AE=\frac{1}{3}AC
.
Плоскость
\alpha
проходит через прямую
EH
, параллельную прямой
BC
, а значит, плоскости
SBC
(см. задачу 8002). Поэтому прямая пересечения плоскостей
\alpha
и
BSC
параллельна прямой
BC
(см. задачу 8003). Следовательно, треугольники
BSC
и
FSM
подобны по двум углам,
FM=\frac{1}{3}BC
,
SM=\frac{1}{2}SC
. Таким образом, отрезки
FM
и
EH
равны и лежат на параллельных прямых. Следовательно,
EHFM
— параллелограмм. Из того, что
AE=\frac{1}{3}AC
и
SM=\frac{1}{3}SC
следует, что
CE:CA=2:3
и
CM:SC=2:3
, поэтому треугольники
CME
и
CSA
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, углы
CME
и
CSA
равны. Тогда прямые
ME
и
SA
параллельны и отрезок
ME
перпендикулярен отрезку
AC
.
Таким образом, в параллелограмме
EHFM
угол
MEH
прямой, следовательно, это прямоугольник.
б) Обозначим
BC=a
,
AC=b
,
SA=h
. Плоскость
\alpha
разбивает пирамиду на два пятигранника
SFMAHE
и
BCMFHE
. Пятигранник
SFMAHE
можно достроить до прямой призмы
SPQAEH
с основаниями
AEH
и
SPQ
, отложив на продолжениях отрезков
EM
и
HF
за точки
M
и
F
отрезки
MP=FQ=\frac{h}{3}
, т. е. пристроив к этому пятиграннику четырёхугольную пирамиду
SMPQF
с вершиной
S
. Тогда
V_{SPQAEH}=S_{\triangle AEH}\cdot SA=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}abh=\frac{1}{18}abh,

V_{SMPQF}=\frac{1}{3}S_{MPQS}\cdot SP=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}a\cdot\frac{1}{3}h\cdot\frac{1}{3}b=\frac{1}{81}abh,

V_{SFMAHE}=V_{SPQAEH}-V_{SMPQF}=\frac{1}{18}abh-\frac{1}{81}abh=\frac{7abh}{162},

а так как
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot h=\frac{1}{6}abh,

то
\frac{V_{SFMAHE}}{V_{SABC}}=\frac{\frac{7abh}{162}}{\frac{1}{6}abh}=\frac{7}{27}.

Следовательно, искомое отношение объёмов частей исходной пирамиды равно
\frac{7}{20}
.