14179. Основание правильной четырёхугольной пирамиды MABCD
— квадрат ABCD
. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер AB
, AD
и AM
проведена плоскость \alpha
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \alpha
— прямоугольный треугольник.
б) Найдите угол между плоскостью \alpha
и плоскостью грани AMB
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. а) Пусть точки K
, L
и N
— середины рёбер AD
, AB
и AM
соответственно. По условию треугольник DMB
прямоугольный и равнобедренный, а так как NL
, NK
и KL
— средние линии треугольников AMB
, AMD
и ABD
, то стороны треугольника KNL
соответственно параллельны сторонам треугольника DMB
. Значит, треугольник KNL
подобен треугольнику DMB
, а следовательно, он тоже прямоугольный и равнобедренный.
б) Угол \varphi
между плоскостями равен углу между прямыми, соответственно перпендикулярными этим плоскостям. Пусть O
— центр основания пирамиды, P
— точка пересечения OA
и KL
. Тогда P
— общая середина отрезков OA
и KL
(см. задачу 1881), а NP
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника KLN
. Тогда NP\parallel MO
как средняя линия треугольника AOM
, а так как MO
— перпендикуляр к плоскости ABC
, то NP
— тоже перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, прямая OA
перпендикулярна пересекающимся прямым KL
и NP
плоскости \alpha
, значит, прямая OA
перпендикулярна плоскости \alpha
.
Обозначим через a
сторону основания пирамиды. Боковые рёбра OA
, OB
и OM
треугольной пирамиды OABM
равны (OA=OB=OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}
), значит, высота этой пирамиды проходит через центр H
описанной около основания окружности основания (см. задачу 7163), т. е. через центр равностороннего треугольника AMB
. Тогда угол между плоскостями \alpha
и AMB
равен углу между прямыми OA
и OH
, соответственно перпендикулярными этим плоскостям.
Из прямоугольного треугольника MOL
находим, что
OH=\sqrt{MH\cdot HL}=\sqrt{\frac{2}{3}ML\cdot\frac{1}{3}ML}=\frac{1}{3}ML\sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6},
\cos\varphi=\frac{OH}{OA}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, \varphi=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}
.