14218. У куба выбрали две противоположные вершины M
и M'
и плоскими сечениями ABC
и A'B'C'
отрезали от него две треугольные пирамиды MABC
и M'A'B'C'
. Получился восьмигранник (см. рис.). Три расстояния оказались попарно различны: между прямыми AB
и A'B'
, между прямыми BC
и B'C'
и между прямыми AC
и A'C'
. Докажите, что у прямых AA'
, BB'
и CC'
есть общая точка.
Решение. Пусть ребро куба равно a
. Каждая из указанных в условии пар прямых лежит на двух противоположных гранях куба. Через них проходят параллельные плоскости на расстоянии a
друг от друга. Если эти прямые не параллельны, то они скрещивающиеся. В таком случае проходящая через них пара параллельных плоскостей определяется однозначно (см. задачу 7105), а расстояние между прямыми равно расстоянию между этими плоскостями, т. е. a
.
По условию, по крайней мере два расстояния не равны a
, т. е. в двух парах прямые параллельны (например, AB\parallel A'B'
, AC\parallel A'C'
). Тогда по признаку параллельности плоскостей (см. задачу 8008) параллельны плоскости ABC
и A'B'C'
. Но тогда параллельны между собой и прямые BC
и B'C'
. Иначе получилось бы, что через пару скрещивающихся прямых BC
и B'C'
проходят две пары параллельных плоскостей: пара противоположных граней и пара ABC
и A'B'C'
. А такое невозможно.
Итак, все три пары состоят из параллельных прямых. Значит, прямые AB
и A'B'
лежат в плоскости параллельных прямых AB
и A'B'
и пересекаются. Аналогично, пересекаются прямые AA'
и CC'
, а также прямые BC
и B'C'
. При этом прямые AA'
, BB'
и CC'
не лежат в одной плоскости (иначе в этой плоскости лежали бы точки A
, B
и C
). Следовательно (см. задачу 8018), все эти прямые проходят через одну точку.