1422. Вписанная окружность треугольника A_{1}A_{2}A_{3}
касается сторон A_{2}A_{3}
, A_{3}A_{1}
и A_{1}A_{2}
в точках S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
соответственно. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры вписанных окружностей треугольников A_{1}S_{2}S_{3}
, A_{2}S_{3}S_{1}
и A_{3}S_{1}S_{2}
соответственно. Докажите, что прямые O_{1}S_{1}
, O_{2}S_{2}
и O_{3}S_{3}
пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что если прямые, проходящие через точку M
, касаются некоторой окружности в точках K
и N
, то центр вписанной окружности треугольника KMN
совпадает с серединой меньшей дуги KN
исходной окружности.
Решение. Докажем сначала, что если прямые, проходящие через точку M
, касаются некоторой окружности в точках K
и N
, то центр вписанной окружности треугольника KMN
совпадает с серединой меньшей дуги KN
исходной окружности (см. задачу 362).
В самом деле, пусть O
— середина указанной дуги (рис. 1). Тогда
\angle MKO=\angle KNO=\angle NKO,
поэтому KO
— биссектриса угла MKN
. Аналогично докажем, что NO
— биссектриса угла MNK
. Следовательно, O
— центр вписанной окружности треугольника KMN
.
Из доказанного утверждения следует, что центры O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
вписанных окружностей треугольников A_{1}S_{2}S_{3}
, A_{2}S_{3}S_{1}
и A_{3}S_{1}S_{2}
являются серединами меньших дуг S_{2}S_{3}
, S_{1}S_{3}
и S_{1}S_{2}
вписанной окружности треугольника A_{1}A_{2}A_{3}
(рис. 2). Значит, лучи O_{1}S_{1}
, O_{2}S_{2}
и O_{3}S_{3}
— биссектрисы углов треугольника S_{1}S_{2}S_{3}
(см. задачу 430). Следовательно, прямые O_{1}S_{1}
, O_{2}S_{2}
и O_{3}S_{3}
пересекаются в одной точке.
