1422. Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC
касается его сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки I_{1}
, I_{2}
и I_{3}
— центры вписанных окружностей треугольников AFE
, BDF
и CED
соответственно. Докажите, что прямые I_{1}D
, I_{2}E
и I_{3}F
пересекаются в одной точке.
Указание. Точки I_{1}
, I_{2}
и I_{3}
— середины меньших дуг соответственно EF
, FD
и DE
вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 362).
Решение. Заметим, что точки I_{1}
, I_{2}
и I_{3}
— середины меньших дуг EF
, FD
и DE
вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 362). Значит, DI_{1}
, EI_{2}
и FI_{3}
— биссектрисы углов при вершинах соответственно D
, E
и F
треугольника DEF
(см. задачу 430). Следовательно, прямые I_{1}D
, I_{2}E
и I_{3}F
пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности треугольника DEF
(см. задачу 1140).
Автор: Гордин Р. К.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 1994, № 12
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1994, задача 12
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 6