14261. Точка K
— середина бокового ребра SA
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с основанием ABCD
. Точка T
симметрична S
относительно плоскости ABCD
. Известно, что SA=AB=1
. Найдите угол и расстояние между прямыми BK
и AT
.
Ответ. а) \arctg\sqrt{2}
; б) \frac{1}{2}
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Отрезок OK
— средняя линия треугольника AST
, поэтому OK\parallel AT
. Тогда угол \varphi
между скрещивающимися прямыми BK
и AT
равен углу между пересекающимися прямыми BK
и OK
, т. е. острому углу BKO
прямоугольного треугольника BKO
. Значит,
\tg\varphi=\frac{OB}{OK}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2},
Следовательно, \varphi=\arctg\sqrt{2}
.
б) Прямая AT
параллельна плоскости BKD
, так как эта прямая параллельна прямой OK
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми BK
и AT
равно расстоянию от произвольной точки прямой AT
(например, от точки A
) до плоскости BKD
(см. задачу 7889).
Отрезок OK
— медиана и высота равнобедренного прямоугольного треугольника AOS
, поэтому AK\perp OK
. Отрезок BK
— медиана и высота равностороннего треугольника ASB
, поэтому AK\perp BK
. Значит, AK
— перпендикуляр к плоскости BKD
, поэтому искомое расстояние d
равно длине этого перпендикуляра. Следовательно,
d=AK=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}.