14262. Точка E
— середина бокового ребра MB
правильной четырёхугольной пирамиды MABCD
с основанием ABCD
. Точка N
симметрична M
относительно плоскости ABCD
. Известно, что MA=BC=1
. Найдите угол и расстояние между прямыми AE
и BN
.
Ответ. а) \arctg\sqrt{2}
; б) \frac{1}{2}
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Отрезок OE
— средняя линия треугольника BMN
, поэтому OE\parallel BN
. Тогда угол \varphi
между скрещивающимися прямыми AE
и BN
равен углу между пересекающимися прямыми AE
и OE
, т. е. острому углу AEO
прямоугольного треугольника AOE
. Значит,
\tg\varphi=\frac{OA}{OE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2},
Следовательно, \varphi=\arctg\sqrt{2}
.
б) Прямая BN
параллельна плоскости AEC
, так как эта прямая параллельна прямой OE
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми AE
и BN
равно расстоянию от произвольной точки прямой BN
(например, от точки B
) до плоскости AEC
(см. задачу 7889).
Отрезок OE
— медиана и высота равнобедренного прямоугольного треугольника BOM
, поэтому BE\perp OE
. Отрезок AE
— медиана и высота равностороннего треугольника AMB
, поэтому BE\perp AE
. Значит, BE
— перпендикуляр к плоскости AEC
, поэтому искомое расстояние d
равно длине этого перпендикуляра. Следовательно,
d=BE=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}.