14275. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Сторона её основания равна 2, а боковое ребро равно 1. Точки M
и K
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и AC
соответственно. Найдите:
а) косинус угла между прямыми C_{1}M
и CB_{1}
;
б) угол между плоскостями BMC_{1}
и ABC
;
в) синус угла между прямой BC
и плоскостью AB_{1}C
;
г) расстояние между прямыми BK
и CB_{1}
.
Ответ. а) \sqrt{\frac{3}{5}}
; б) 45^{\circ}
; в) \frac{\sqrt{3}}{4}
; г) \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. а) Пусть N
— середина ребра AB
. Тогда CL=C_{1}M
и CL\parallel C_{1}M
, поэтому угол \alpha
между скрещивающимися прямыми C_{1}M
и CB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми CL
и CB_{1}
, т. е. углу LCB_{1}
треугольника LCB_{1}
. Этот треугольник прямоугольный, так как прямая CL
перпендикулярна плоскости ABB_{1}
, а значит, и прямой LB_{1}
, лежащей в этой плоскости. Катет CL
этого треугольника равен \sqrt{3}
, а гипотенуза CB_{1}
равна \sqrt{5}
. Следовательно,
\cos\alpha=\cos\angle LCB_{1}=\frac{CL}{CB_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.
б) Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, поэтому искомый угол \beta
между плоскостями BMC_{1}
и ABC
равен углу между плоскостями BMC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
, пересекающимся по прямой C_{1}M
. Прямая C_{1}M
перпендикулярна пересекающимся прямым A_{1}B_{1}
и BM
плоскости BMB_{1}
, поэтому BMB_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями BMC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Из прямоугольного треугольника BB_{2}M
находим, что
\cos\beta=\cos\angle BMB_{1}=\frac{B_{1}M}{BM}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \beta=45^{\circ}
.
в) Пусть BP
— высота прямоугольного треугольника KBB_{1}
с катетами BB_{1}=1
, BK=\sqrt{3}
и гипотенузой KB_{1}=2
. Острый угол при вершине K
этого треугольника равен 30^{\circ}
, поэтому BP=\frac{1}{2}BK=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Синус угла \gamma
между наклонной BC
и плоскостью AB_{1}C
равен отношению расстояния от точки B
до этой плоскости, к длине наклонной BC
, т. е.
\sin\gamma=\frac{BP}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
г) Пусть L
— середина ребра A_{1}C_{1}
. Прямая BK
параллельна прямой B_{1}L
, расположенной в плоскости CB_{1}L
, поэтому прямая BK
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между скрещивающимися прямыми BK
и CB_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой BK
, например, от точки K
, до плоскости CB_{1}L
(см. задачу 7889).
Четырёхугольник CKLC_{1}
— квадрат со стороной 1, поэтому KH=\frac{1}{2}CL=\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Проведём высоту KH
прямоугольного треугольника CKL
. Тогда KH
— перпендикуляр к плоскости CB_{1}L
(KH\perp CB_{1}
и KH\perp B_{1}L
, так как B_{1}L\parallel BK
, а BK
— перпендикуляр к плоскости ACC_{1}
, в которой расположен отрезок KH
). Следовательно,
d=KH=\frac{1}{2}CL=\frac{\sqrt{2}}{2}.
(Можно и так. Отрезок CL
— ортогональная проекция прямой CB_{1}
на плоскость ACC_{1}
, проходящую через точку K
перпендикулярно прямой BK
, значит, расстояние между скрещивающимися прямыми BK
и CB_{1}
равно расстоянию от точки O
до прямой CL
, см. задачу 8406.)