14351. Докажите, что три отрезка, каждый из которых соединяет основания высот граней, принадлежащие скрещивающимся рёбрам ортоцентрического тетраэдра, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть ABCD
— ортоцентрический тетраэдр. Его высота, проведённая из вершины D
, проходит через ортоцентр P
треугольника ABC
(см. задачу 9293), поэтому высота грани ABC
, проведённая из точки A
, проходит через точку P
. Аналогично, высота грани BCD
, проведённая из точки D
, проходит через ортоцентр Q
грани BDC
. Но пересекающиеся прямые DP
и AQ
лежат в одной плоскости, поэтому упомянутые высоты граней ABC
и BDC
пересекают прямую BC
в одной и той же точке. Аналогично для оснований всех высот, о которых говорится в условии задачи.
Пусть AM
и DM
— высоты граней ABC
и BCD
, а BN
и CN
— высоты граней ADB
и ADC
. Поскольку прямая MN
лежит в плоскостях AMD
и BNC
, перпендикулярных скрещивающимся прямым BC
и AD
соответственно, то отрезок MN
— общий перпендикуляр этих прямых. Аналогично для двух других отрезков, о которых говорится в условии. Но общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке (см. задачу 7809). Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6.27, с. 117