14352. Пусть V
— объём тетраэдра, а R
— радиус описанной сферы. Докажите, что
V\leqslant\frac{8R^{3}\sqrt{3}}{27}.
Решение. Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
, S_{4}
— площади граней тетраэдра, r
— радиус вписанной сферы. Тогда
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}\leqslant\frac{8\sqrt{3}}{3}R^{2}
(см. задачу 14349) и r\leqslant\frac{1}{3}R
(см. задачу 9618). Следовательно (см. задачу 7185),
V=\frac{1}{3}(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})r\leqslant\frac{1}{3}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}R^{2}\cdot\frac{1}{3}R=\frac{8R^{3}\sqrt{3}}{27}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство выполняется только для правильного тетраэдра.