14364. В сферу радиуса R
вписана правильная n
-угольная пирамида. При какой высоте она имеет максимальный объём? Найдите его.
Ответ. h=\frac{4}{3}R
, V_{\mbox{max}}=\frac{16}{81}nR^{3}\sin\frac{360^{\circ}}{n}
.
Решение. Пусть S
— вершина правильной n
-угольной пирамиды, A
— одна из вершин основания, H
— центр основания, OH=h
— высота пирамиды, s
— площадь основания, V
— объём пирамиды.
Продолжим отрезок отрезок OH
за точку H
до пересечения с описанной сферой в точке S_{1}
. Поскольку SS_{1}
— диаметр сферы, треугольник SAS_{1}
прямоугольный, а HA
— его высота, проведённая из вершины прямого угла.
Обозначим HA=r
. Тогда (см. задачу 2728)
r^{2}=AH^{2}=SH\cdot HS_{1}=h(2R-h).
Значит,
s=n\cdot\frac{1}{2}HA^{2}\sin\frac{360^{\circ}}{n}=\frac{1}{2}nr^{2}\sin\frac{360^{\circ}}{n}=\frac{1}{2}nh(2R-h)\sin\frac{360^{\circ}}{n}.
Тогда
V=\frac{1}{3}sh=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}nh(2R-h)\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot h=\frac{1}{6}nh^{2}(2R-h)\sin\frac{360^{\circ}}{n}=
=4\cdot\frac{1}{6}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{h}{2}\cdot(2R-h)\leqslant\frac{2}{3}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot\left(\frac{\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+(2R-h)}{3}\right)^{3}=
=\frac{2}{3}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot\frac{8}{27}=\frac{16}{81}nR^{3}\sin\frac{360^{\circ}}{n}
(см. примечание к задаче 3399), причём равенство достигается в случае, когда \frac{h}{2}=2R-h
, т. е. при h=\frac{4}{3}R
. Следовательно,
V_{\mbox{max}}=\frac{16}{81}nR^{3}\sin\frac{360^{\circ}}{n}.