14367. Рассматриваются всевозможные тетраэдры ABCD
, у которых рёбра AB
и CD
равны между собой, а остальные ребра равны 1. Найдите рёбра AB
и CD
тетраэдра с наибольшим объёмом.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{3}}
.
Решение. Обозначим AB=CD=x
. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, а DH
— высота тетраэдра. Тогда CM
и DM
— высоты равных равнобедренных треугольников ACB
и ADB
, а MN
— высота равнобедренного треугольника CMD
, поэтому
CM^{2}=DM^{2}=DA^{2}-AM^{2}=1-\frac{x^{2}}{4},
MN^{2}=CM^{2}-CN^{2}=1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{2},
а так как CM\cdot DH=CD\cdot MN
(см. задачу 1967), то
DH^{2}=\frac{CD^{2}\cdot MN^{2}}{CM^{2}}=\frac{x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)}{1-\frac{x^{2}}{4}}.
Пусть V
— объём тетраэдра ABCD
, а S
— площадь треугольника ABC
. Тогда
S^{2}=\left(\frac{1}{2}AB\cdot CM\right)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right).
Значит,
V_{ABCD}^{2}=\left(\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH\right)^{2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{4}x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right)\cdot\frac{x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)}{1-\frac{x^{2}}{4}}=\frac{1}{36}x^{4}\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)=
=\frac{4}{9}\cdot\frac{x^{2}}{4}\cdot\frac{x^{2}}{4}\cdot\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)\leqslant\frac{4}{9}\left(\frac{\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)}{3}\right)^{3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{27}=\frac{4}{243},
(см. примечание к задаче 3399), причём равенство достигается в случае, когда \frac{x^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{2}
, т. е. при x=\frac{2}{\sqrt{3}}
. Следовательно, наибольшее значение V^{2}
(а значит, и V
) достигается при этом значении x
.