14369. Рассматривается множество правильных треугольных призм данного объёма V
. Около каждой из них описан цилиндр. Найдите минимальную площадь полной поверхности цилиндра.
Ответ. 2\pi\sqrt[{3}]{{4V}}
.
Решение. Пусть a
— сторона основания правильной треугольной призмы, h
— высота призмы и описанного около неё цилиндра, r
— радиус основания цилиндра, S
— полная поверхность цилиндра. Тогда (см. задачу 1963) r=\frac{a}{\sqrt{3}}
,
V=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{4}~\Rightarrow~h=\frac{4V}{a^{2}\sqrt{3}}.
Значит,
S=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi\left(\frac{a^{2}}{3}+\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4V}{a^{2}\sqrt{3}}\right)=\frac{2\pi}{3}\left(a^{2}+\frac{4V}{a}\right)=
=\frac{2\pi}{3}\left(a^{2}+\frac{2V}{a}+\frac{2V}{a}\right)\geqslant\frac{2\pi}{3}\cdot3\sqrt[{3}]{{a^{2}\cdot\frac{2V}{a}\cdot\frac{2V}{a}}}=2\pi\sqrt[{3}]{{4V}}
(см. примечание к задаче 3399), причём равенство достигается в случае, когда a^{2}=\frac{2V}{a}
, т. е. при a=\sqrt[{3}]{{2V}}
. Следовательно, наименьшая площадь полной поверхности цилиндра равна 2\pi\sqrt[{3}]{{4V}}