14383. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды со стороной основания a
в пять раз больше площади основания. Найдите объём конуса, вписанного в пирамиду.
Ответ. \frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{36}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды DABC
, M
— середина стороны AB
основания. Тогда DM
— апофема пирамиды, т. е. образующая конуса, вписанного в пирамиду, OM=r
— радиус вписанной окружности равностороннего треугольника ABC
, DO=h
— высота пирамиды, т. е. высота конуса, а \angle DMO=\alpha
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AB
, т. е. угол между образующей конуса и плоскостью его основания. Обозначим через V
искомый объём конуса.
Из теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость следует (см. задачу 8093), что отношение площади основания правильной пирамиды к её боковой поверхности равно косинусу \alpha
. Значит, \cos\alpha=\frac{1}{5}
. Тогда
\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=\sqrt{25-1}=2\sqrt{6}.
Учитывая, что r=\frac{a\sqrt{3}}{6}
(см. задачу 1963), из прямоугольного треугольника DOM
находим, что
h=DO=OM\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot2\sqrt{6}=a\sqrt{2}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}}{12}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{36}.