14393. Радиус шара, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, в три раза больше высоты пирамиды. Найдите отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади её основания.
Ответ. \sqrt{\frac{7}{5}}
.
Решение. Пусть сторона основания ABCD
данной правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
равна a
, а высота PH
равна h
. Тогда радиус описанного шара равен 3h
. Пирамида правильная, поэтому центр описанного около неё шара лежит на прямой PH
.
Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью APC
— равнобедренный треугольник APC
с основанием AC=a\sqrt{2}
и высотой PH
и описанный около него круг радиуса 3h
с центром на прямой PH
.
Пусть луч PH
пересекает окружность, ограничивающую круг, в точке P_{1}
. Точка A
лежит на окружности с диаметром PP_{1}=6h
, поэтому \angle PAP_{1}=90^{\circ}
. Отрезок AH
— высота прямоугольного треугольника PAP_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AH^{2}=PH\cdot HP_{1},~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{2}=h\cdot(6h-h)=h\cdot5h=5h^{2},
откуда \frac{h}{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна площади основания пирамиды, делённой на косинус угла \beta
боковой грани с плоскостью основания (следствие из задачи 8093). Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда \angle PMH=\beta
. Из прямоугольного треугольника PHM
находим, что
\tg\beta=\frac{PH}{HM}=\frac{h}{\frac{a}{2}}=2\cdot\frac{h}{a}=\frac{2}{\sqrt{10}}.
Значит,
\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{5}}}=\sqrt{\frac{5}{7}}.
Следовательно,
\frac{S_{\mbox{бок.}}}{S_{\mbox{осн.}}}=\frac{1}{\cos\beta}=\sqrt{\frac{7}{5}}.