14403. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. На продолжении ребра BA
взята точка M
так, что MA=AB
(MB=2AB
). Через точки M
, B_{1}
и середину ребра AC
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём призмы?
Ответ. 13:23
.
Решение. Решим эту задачу для произвольной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Пусть K
— середина ребра AC
, луч MK
пересекает ребро BC
в точке N
, а отрезок AB_{1}
пересекает ребро AA_{1}
в точке L
. Тогда сечение призмы указанной в условии плоскостью — четырёхугольник KNB_{1}L
.
Пусть прямая, проведённая через точку A
параллельно MN
, пересекает отрезок BC
в точке D
. Отрезок AD
— средняя линия треугольника MBN
, поэтому BD=DN
. Отрезок KN
— средняя линия треугольника ACD
, поэтому AN=ND
. Значит, AN=ND=BD
, поэтому \frac{CN}{NB}=\frac{1}{2}
, а \frac{CN}{CB}=\frac{1}{3}
. Треугольники ALM
и A_{1}LB_{1}
равны, поэтому ML=LB_{1}
. Значит, \frac{ML}{MB_{1}}=\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}
.
Пусть прямая, проведённая через точку N
параллельно AC
, пересекает отрезок MB
в точке E
. По теореме Фалеса
\frac{AE}{BE}=\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3},
а так как MA=AB
, то
\frac{MK}{MN}=\frac{MA}{ME}=\frac{AB}{ME}=\frac{3}{4}.
Первый способ. Пусть объём призмы равен V
, площадь грани BB_{1}C_{1}S
равна S
, а расстояние между боковым ребром и плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
равно h
. Тогда V=\frac{1}{2}Sh
(см. задачу 7237).
Пусть объём треугольной пирамиды MBNB_{1}
с вершиной M
равен V_{1}
, а объём пирамиды MAKL
с той же вершиной равен v_{1}
. Тогда (см. задачу 7244)
v_{1}=\frac{MA}{MB}\cdot\frac{MK}{MN}\cdot\frac{ML}{MB_{1}}V_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}V_{1}=\frac{3}{16}V_{1}.
Значит, объём той части призмы, которая содержит точку A
, равен
V_{1}-v_{1}=V_{1}-\frac{3}{16}V_{1}=\frac{13}{16}V_{1}=\frac{13}{16}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}S\cdot2h=\frac{13}{72}Sh=\frac{13}{36}\cdot\frac{1}{2}Sh=\frac{13}{36}V.
Тогда искомое отношение объёмов равно
\frac{\frac{13}{36}V}{V-\frac{13}{36}V}=\frac{\frac{13}{36}V}{\frac{23}{39}V}=\frac{13}{23}.
Второй способ. Пусть объём призмы равен V
, площадь основания ABC
равна Q
, а высота призмы равна d
. Тогда V=Qd
.
Пусть площадь треугольника BMN
равна Q_{1}
. Тогда \frac{Q_{1}}{S}=2\cdot\frac{2}{3}
, так как высота треугольника BMN
, проведённая из вершины M
, вдвое больше высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
, а отношение оснований BN
и BC
этих треугольников равно \frac{2}{3}
.
Пусть объём треугольной пирамиды MBNB_{1}
с вершиной M
равен V_{1}
, а объём пирамиды MAKL
с той же вершиной равен v_{1}
. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}Q_{1}d=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}Sd=\frac{4}{9}Sd=\frac{4}{9}V,
v_{1}=\frac{MA}{MB}\cdot\frac{MK}{MN}\cdot\frac{ML}{MB_{1}}V_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}V_{1}=\frac{3}{16}V_{1}=\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{9}V=\frac{1}{12}V.
Значит, объём той части призмы, которая содержит точку A
, равен
V_{1}-v_{1}=\frac{4}{9}V-\frac{1}{12}V=\frac{13}{36}V.
Тогда искомое отношение объёмов равно
\frac{\frac{13}{36}V}{V-\frac{13}{36}V}=\frac{\frac{13}{36}V}{\frac{23}{39}V}=\frac{13}{23}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1965, № 2, вариант 2
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — с. 278, № 2, вариант 2