14407. Из конца диаметра шара проведена такая хорда, что поверхность, образуемая вращением её вокруг этого диаметра, делит шар на две равновеликие части. Найдите угол между хордой и диаметром.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt[{4}]{{2}}}
.
Решение. Пусть AB=2R
— диаметр шара, AC
— данная хорда. Сечение шара плоскостью ABC
— круг с диаметром AB
. В этот круг вписан прямоугольный треугольник ABC
. Из вершины его прямого угла проведём высоту CH
. Обозначим AH=h
, CH=r
, \angle BAC=\alpha
.
Объём шара радиуса R
равен \frac{4}{3}\pi R^{3}
, а объём V
части шара, высекаемой из шара указанной в условии поверхностью вращения, равен половине объёма шара, т. е. V=\frac{2}{3}\pi R^{3}
. Эта часть шара состоит из конуса с вершиной A
, основание которого — круг с центром H
радиуса HC=R
, и шарового сегмента, основание которого — тот же круг, а высота BH=2R-h
. Пусть объём конуса равен V_{1}
, а объём шарового сегмента — V_{2}
.
С другой стороны, поскольку
r^{2}=CH^{2}=AH\cdot BH=h(2R-h),
(см. задачу 2728), то
V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h),
а по формуле объёма шарового сегмента с высотой BH
(см. задачу 9063) получаем
V_{2}=\pi BH^{2}\left(R-\frac{1}{3}BH\right)=\pi(2R-h)^{2}\cdot\left(R-\frac{1}{3}(2R-h)\right)=
=\frac{1}{3}\pi(2R-h)^{2}(R+h).
Тогда
V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h)+\frac{1}{3}\pi(2R-h)^{2}(R+h)=
=\frac{1}{3}\pi((h^{2}(2R-h)+(2R-h)^{2}(R+h))=
=\frac{1}{3}\pi(2R-h)(h^{2}+(2R-h)(R+h))=\frac{1}{3}\pi R(2R-h)(2R+h)=
=\frac{1}{3}\pi R(4R^{2}-h^{2}).
По условию
\frac{1}{3}\pi R(4R^{2}-h^{2})=\frac{2}{3}\pi R^{3},~\mbox{или}~4R^{2}-h^{2}=2R^{2},
откуда 2R^{2}=h^{2}
, или \frac{h}{R}=\sqrt{2}
.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{AH\cdot AB}}{AB}=\frac{\sqrt{h\cdot2R}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{\frac{h}{R}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt[{4}]{{2}}=\frac{1}{\sqrt[{4}]{{2}}}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt[{4}]{{2}}}
.