14413. Дана пирамида, основание которой — квадрат и высота которой равна стороне основания. Требуется построить равновеликую этой пирамиде треугольную призму, у которой высота равна данному отрезку h
, а в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть сторона основания и высота данной пирамиды равны a
, а катеты основания призмы равны x
. По условию
\frac{1}{2}x^{2}h=\frac{1}{3}a^{3}~\Rightarrow~x=\sqrt{\frac{2a^{3}}{3h}}=\sqrt{2a\cdot\frac{a\cdot a}{3h}}
Построение искомого отрезка x
возможно следующим способом. Строим отрезок 3h
, затем — отрезки t=\frac{a\cdot a}{3h}
(см. задачу 2608), 2a
и \sqrt{2a\cdot t}
— среднее геометрическое отрезков 2a
и t
(см. задачу 1968).
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1967, № 4а, вариант 5
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 4а, с. 81, вариант 5