14415. Через ребро основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью a^{2}
. Найдите боковую поверхность пирамиды, которая отсечена проведённой плоскостью от данной, если боковая поверхность всей пирамиды равна b^{2}
Ответ. \left(a+\frac{b}{2}\right)^{2}
.
Решение. Пусть SABCD
— данная пирамида с основанием ABCD
. Секущая плоскость и плоскость основания пирамиды проходят через параллельные прямые AB
и CD
соответственно и пересекаются. Значит, прямая пересечения плоскостей параллельна прямой CD
(см. задачу 8004). Пусть M
и N
— точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами SC
и SD
соответственно. Треугольник MSN
подобен треугольнику CSD
, причём коэффициент подобия равен квадратному корню из отношения их площадей, т. е.
k=\frac{SM}{SC}=\sqrt{\frac{S_{\triangle MSN}}{S_{\triangle CSD}}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{\frac{b^{2}}{4}}}=\frac{2a}{b}.
Тогда (см. задачу 3000)
S_{\triangle BSM}=S_{\triangle ASN}=kS_{\triangle ASD}=\frac{2a}{b}\cdot\frac{b^{2}}{4}=\frac{ab}{2}.
Следовательно, боковая поверхность пирамиды SABMN
с основанием ABMN
равна
S_{\triangle MSN}+2S_{\triangle BSM}+S_{\triangle ASB}=a^{2}+2\cdot\frac{ab}{2}+\frac{b^{2}}{4}=a^{2}+ab+\frac{b^{2}}{4}=\left(a+\frac{b}{2}\right)^{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1966, № 2, вариант 1
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 2, с. 59, вариант 1