14420. В ортоцентрическом тетраэдре ABCD
угол ADC
прямой. Докажите, что
\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}},
где h
— высота тетраэдра, проведённая из вершины D
, а a=DA
, b=DB
, c=DC
.
Решение. Противоположные рёбра ортоцентрического тетраэдра попарно перпендикулярны (см. задачу 7807), поэтому CD\perp AB
, а так как по условию CD\perp AD
, то CD
— перпендикуляр к плоскости ADB
(см. задачу 7700). Значит, CD
(как и DH
) — высота тетраэдра, а так как тетраэдр ортоцентрический, то D
— точка пересечения его высот. Отсюда получаем, что DA\perp BD
и DB\perp DC
. Тогда этот тетраэдр прямоугольный. Следовательно,
\frac{1}{DH^{2}}=\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}
(см. задачу 7609).