14424. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными b
; соответствующие им боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол, равный \alpha
. Угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания также равен \alpha
. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
Ответ. \frac{b\sin\alpha}{4\cos^{2}\frac{\alpha}{4}}
.
Решение. Пусть ABCD
— данная пирамида с вершиной D
. Её основание равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC=b
. Боковые грани ADB
и ADC
перпендикулярны плоскости основания.
Плоскости ADB
и ADC
, перпендикулярные плоскости ABC
, пересекаются по прямой DA
, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости ABC
(см. задачу 9104), т. е. DA
— высота пирамиды.
Пусть M
— середина ребра BC
. Тогда BAC
— линейный угол двугранного угла при ребре DA
пирамиды, а AMD
— линейный угол двугранного угла при ребре BC
, поэтому
\angle AMD=\angle BAC=\alpha.
Из прямоугольных треугольников AMB
и DAM
находим, что
BM=AB\sin\angle BAM=b\sin\frac{\alpha}{2},~AM=AB\cos\angle BAM=b\cos\frac{\alpha}{2},
DA=AM\tg\angle AMD=b\cos\frac{\alpha}{2}\tg\alpha.
Тогда
S_{\triangle ABC}=BM\cdot AM=b\sin\frac{\alpha}{2}\cdot b\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha,
S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DA=\frac{1}{2}b\cdot b\cos\frac{\alpha}{2}\tg\alpha=\frac{1}{2}b^{2}\cos\frac{\alpha}{2}\tg\alpha,
а т.к треугольник ABC
— ортогональная проекция треугольника DBC
на плоскость основания пирамиды, то (см. задачу 8093)
S_{\triangle DBC}=\frac{S_{\triangle ABC}}{\cos\angle AMD}=\frac{\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{2}b^{2}\tg\alpha.
Пусть r
— радиус шара, вписанного в данную пирамиду, V
— объём пирамиды, S
— её полная поверхность. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DA=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha\cdot b\cos\frac{\alpha}{2}\tg\alpha=\frac{b^{3}\sin^{2}\alpha\cos\frac{\alpha}{2}}{6\cos\alpha},
S=S_{\triangle ABC}+2S_{\triangle ABD}+S_{\triangle DBC}=\frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha+b^{2}\cos\frac{\alpha}{2}\tg\alpha+\frac{1}{2}b^{2}\tg\alpha=
=\frac{1}{2}b^{2}\tg\alpha(\cos\alpha+2\cos\frac{\alpha}{2}+1)=\frac{1}{2}b^{2}\tg\alpha(2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+2\cos\frac{\alpha}{2})=
=b^{2}\tg\alpha\cos\frac{\alpha}{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{4}.
Следовательно (см. задачу 7185),
r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{b^{3}\sin^{2}\alpha\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos\alpha}}{b^{2}\tg\alpha\cos\frac{\alpha}{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{4}}=\frac{b\sin\alpha}{4\cos^{2}\frac{\alpha}{4}}.