14443. Центр шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, делит высоту пирамиды в отношении m:n
, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между двумя смежными боковыми гранями.
Ответ. 180^{\circ}-\arccos\frac{n^{2}}{m_{2}}
.
Решение. Пусть SABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S
и высотой SH
, а O
— центр вписанного в неё шара, причём SO:OH=m:n
. Обозначим через a
сторону квадрата ABCD
.
Пусть M
и N
— середины рёбер BC
и AD
соответственно. Тогда в сечении пирамиды плоскостью SMN
получится равнобедренный треугольник MSN
и вписанная в него окружность с центром O
на высоте SH
. При этом MO
— биссектриса прямоугольного треугольника SHM
, поэтому
\frac{SM}{MH}=\frac{SO}{OH}=\frac{m}{n}
(см. задачу 1509). Отсюда получаем
SM=MH\cdot\frac{m}{n}=\frac{am}{2n}.
Тогда по теореме Пифагора
SH=\sqrt{SM^{2}-HM^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}m^{2}}{2n^{2}}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{2n},
SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}(m^{2}-n^{2})}{4n^{2}}+\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{m^{2}+n^{2}}}{2n}.
Пусть HF
— перпендикуляр к ребру SC
. Тогда HF
— высота прямоугольного треугольника SHC
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 1967),
HF=\frac{CH\cdot SH}{SC}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{2n}}{\frac{a\sqrt{m^{2}+n^{2}}}{2n}}=\sqrt{\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}.
Поскольку SC\perp BD
(по теореме о трёх перпендикулярах), то плоскость BFD
перпендикулярна ребру SC
, поэтому BFN
— линейный угол двугранного угла при ребре SC
пирамиды. Обозначим \angle BFD=\gamma
. Треугольник BFD
равнобедренный, поэтому его медиана FH
является высотой и биссектрисой. Значит, \angle BFH=\frac{\gamma}{2}
. Из прямоугольного треугольника BHF
находим, что
\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{BH}{HF}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}=\sqrt{\frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}}}.
Тогда
\cos\gamma=\frac{1-\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{1-\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}{{1+\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}=-\frac{n^{2}}{m^{2}}.
Следовательно,
\gamma=180^{\circ}-\arccos\frac{n^{2}}{m^{2}}.