14446. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с боковой стороной a
и острым углом \alpha
. Все боковые грани образуют с основанием пирамиды один и тот же угол \beta
. Найдите полную поверхность пирамиды.
Ответ. \frac{a^{2}\sin\alpha(1+\cos\beta)}{\cos\beta}
.
Решение. Пусть основание данной пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
, в которой AD\parallel BC
, AB=CD=a
, \angle BAD=\alpha
. Поскольку боковые грани образуют с основанием пирамиды один и тот же угол, основание O
высоты SO
пирамиды равноудалено от всех сторон основания. Значит, в основание ABCD
пирамиды можно вписать окружность. Диаметр этой окружности равен высоте BH
трапеции.
Из прямоугольного треугольника AHB
находим, что
BH=AB\sin\angle BAD=a\sin\alpha.
Пусть средняя линия трапеции равна l
. Трапеция ABCD
описанная и равнобедренная, поэтому (см. задачу 310)
l=\frac{1}{2}(AD+CD)=\frac{1}{2}\cdot2AB=a.
Пусть S_{1}
— площадь основания, а S_{2}
и S
— соответственно боковая и полная поверхности пирамиды. Тогда
S_{1}=l\cdot BH=\frac{1}{2}(AD+CD)\cdot BH=a^{2}\sin\alpha,
S_{2}=\frac{S_{1}}{\cos\beta}=\frac{a^{2}\sin\alpha}{\cos\beta}
(см. задачу 8093). Следовательно,
S=S_{1}+S_{2}=a^{2}\sin\alpha+\frac{a^{2}\sin\alpha}{\cos\beta}=\frac{a^{2}\sin\alpha(1+\cos\beta)}{\cos\beta}.