14474. Высота правильной четырёхугольной пирамиды образует с боковым ребром угол \alpha
. Через вершину пирамиды параллельно диагонали основания проведена плоскость, составляющая с угол \beta
со второй диагональю. Площадь полученного сечения равна S
. Найдите высоту пирамиды.
Ответ. \sin\beta\sqrt{-\frac{S\cos\alpha}{\cos(\alpha+\beta)}}
.
Решение. Пусть PH=h
— высота данной правильной пирамиды PABCD
с вершиной P
, а секущая плоскость параллельна диагонали BD
основания. Плоскость основания проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной BD
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает рёбра AB
и AD
в точках M
и N
соответственно, а диагональ AC
основания — в точке K
. Тогда сечение — равнобедренный треугольник MPN
данной площади S
.
По условию \angle APH=\alpha
— угол между высотой пирамиды и боковым ребром PA
. Опустим перпендикуляр HF
на высоту PK
треугольника MPN
. Тогда HF
— перпендикуляр к секущей плоскости, поэтому FKH
— угол наклонной HK
с секущей плоскостью. Значит,
\angle PKH=\angle FKH=\beta.
По теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093)
S_{\triangle MHN}=S_{\triangle MPN}\cos\beta=S\cos\beta.
Пусть AC=BD=2d
. Из прямоугольных треугольников AHP
и KHP
получаем
h=PH=AH\ctg\angle APH=d\ctg\alpha,
KH=PH\ctg\angle PKH=h\ctg\beta=d\ctg\alpha\ctg\beta.
Треугольник MAN
подобен треугольнику BAD
с коэффициентом
k=\frac{AK}{AH}=\frac{AH-KH}{AH}=\frac{d-d\ctg\alpha\ctg\beta}{d}=1-\ctg\alpha\ctg\beta=-\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.
Тогда
MN=kBD=k\cdot2d=-\frac{2d\cos(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.
Значит,
S\cos\beta=S_{\triangle MHN}=\frac{1}{2}MN\cdot KH=-\frac{d\cos(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\cdot d\ctg\alpha\ctg\beta=
=-\frac{d^{2}\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha\cos\beta}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta},
откуда
d=\sin\alpha\sin\beta\sqrt{-\frac{S}{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}}.
Следовательно,
h=PH=d\ctg\alpha=\sin\alpha\sin\beta\sqrt{-\frac{S}{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\sin\beta\sqrt{-\frac{S\cos\alpha}{\cos(\alpha+\beta)}}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.382, с. 242