14493. Докажите, что сфера, диаметр которой совпадает с ребром правильного тетраэдра, проходит через основания двух высот тетраэдра и через середины двух других его высот.
Решение. Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
,
CC_{1}
и
DD_{1}
— высоты правильного тетраэдра
ABCD
с ребром
a
.
Поскольку
\angle AA_{1}B=90^{\circ}
, точка
A_{1}
лежит на сфере с диаметром
AB
. Аналогично, точка
B_{1}
лежит на этой сфере.
Пусть
M
и
K
— середины отрезков
DD_{1}
и
AB
соответственно. Тогда
D_{1}M=\frac{1}{2}DD_{1}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}

(см. задачу 7040) и
D_{1}K=\frac{a}{2\sqrt{3}}
. Из прямоугольного треугольника
ND_{1}K
находим, что
MK=\sqrt{D_{1}M^{2}+D_{1}K^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{6}+\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}AB.

Значит,
\angle AMB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Следовательно, середина
M
высоты
DD_{1}
лежит на сфере с диаметром
AB
. Аналогично, середина высоты
CC_{1}
лежит на этой сфере.
Что и требовалось доказать.