14493. Докажите, что сфера, диаметр которой совпадает с ребром правильного тетраэдра, проходит через основания двух высот тетраэдра и через середины двух других его высот.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
— высоты правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
.
Поскольку \angle AA_{1}B=90^{\circ}
, точка A_{1}
лежит на сфере с диаметром AB
. Аналогично, точка B_{1}
лежит на этой сфере.
Пусть M
и K
— середины отрезков DD_{1}
и AB
соответственно. Тогда
D_{1}M=\frac{1}{2}DD_{1}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}
(см. задачу 7040) и D_{1}K=\frac{a}{2\sqrt{3}}
. Из прямоугольного треугольника ND_{1}K
находим, что
MK=\sqrt{D_{1}M^{2}+D_{1}K^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{6}+\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}AB.
Значит, \angle AMB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Следовательно, середина M
высоты DD_{1}
лежит на сфере с диаметром AB
. Аналогично, середина высоты CC_{1}
лежит на этой сфере.
Что и требовалось доказать.