14517. В тетраэдре ABCD
рёбра DA
, DB
и DC
попарно перпендикулярны и равны, точка H
— ортогональная проекция вершины D
на плоскость ABC
, точка Q
симметрична точке H
относительно вершины D
. Докажите, что тетраэдр QABC
правильный.
Решение. Прямоугольные треугольники ADB
, ADC
и BDC
равны по двум катетам, поэтому AB=AC=BC
, т. е. треугольник ABC
равносторонний, а так как боковые рёбра DA
, DB
и DC
тетраэдра ABCD
равны, то его высота DH
проходит через центр основания ABC
. Значит, ABCD
— правильная треугольная пирамида с вершиной D
. Тогда QABC
— правильная треугольная пирамиды с вершиной Q
.
Обозначим через a
сторону её основания. По теореме Пифагора
DH=\sqrt{DA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.
Тогда
QH=2DH=\frac{2a}{\sqrt{6}}=a\sqrt{\frac{2}{3}},
т. е. точка Q
совпадает с вершиной правильного тетраэдра, противоположной грани ABC
(см. задачу 7040).
Примечание. Верно и обратное утверждение (см. задачу 7143).