7143. Докажите, что отрезки, соединяющие середину высоты правильного тетраэдра с вершинами его основания, попарно перпендикулярны
Решение. Пусть M
— середина высоты DH
правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
. Тогда
DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{3}},
MB=MA=\sqrt{MH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Поэтому
MA^{2}+MB^{2}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=a^{2}=AB^{2}.
Следовательно, MA\perp MB
(см. задачу 1972). Аналогично MA\perp MC
и MB\perp MC
.
Примечание. Верно и обратное утверждение (см. задачу 14517).
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.53, с. 107
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.63, с. 116
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 48, с. 12
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 37, с. 8
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3.11, с. 63