7143. Докажите, что отрезки, соединяющие середину высоты правильного тетраэдра с вершинами его основания, попарно перпендикулярны
Решение. Пусть M
— середина высоты DH
правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
. Тогда
DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{3}},~
MB=MA=\sqrt{MH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Поэтому
MA^{2}+MB^{2}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=a^{2}=AB^{2}.
Следовательно, MA\perp MB
(см. задачу 1972). Аналогично MA\perp MC
и MB\perp MC
.
Примечание. Верно и обратное утверждение (см. задачу 14517).