14537. Дан правильный тетраэдр ABCD
с ребром a
. Точки M
, N
и K
— середины рёбер AD
, CD
и AB
соответственно. Найдите:
а) расстояние от точки B
до прямой MN
;
б) расстояние от точки N
до плоскости ABD
;
в) синус угла между прямой DK
и плоскостью BCD
;
г) тангенс угла между плоскостями ANB
и ABC
.
Ответ. а) \frac{a\sqrt{11}}{4}
; б) \frac{1}{2}\sqrt{2}{3}
; в) \frac{\sqrt{2}}{3}
; г) \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. а) Пусть P
— середина средней линии MN
треугольника ADC
. Тогда BP
— медиана и высота равнобедренного треугольника MBN
со сторонами
MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a,~BM=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Расстояние от точки B
до прямой MN
равно высоте BP
треугольника MBN
. Из прямоугольного треугольника BMP
находим, что
BP=\sqrt{BM^{2}-MP^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}-\frac{1}{16}a^{2}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}.
б) Точка N
— середина наклонной CD
к плоскости ABD
, поэтому расстояние d
от точки N
до этой плоскости вдвое меньше расстояния до неё от точки C
(см. задачу 9180), равного высоте данного правильного тетраэдра. Следовательно (см. задачу 7040),
d=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}.
в) Пусть \varphi
— искомый угол между прямой DK
и плоскостью BCD
. Расстояние от точки K
до плоскости BCD
равно найденному в предыдущем пункте расстоянию d
от точки N
до плоскости ABD
, т. е. d=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}
. Следовательно,
\sin\varphi=\frac{d}{DK}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
г) Опустим перпендикуляр NN'
на прямую CK
. Тогда NN'
— перпендикуляр к плоскости ABC
, а так как KN'\perp AB
и KN\perp AB
, то NKN'
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ANB
и ABC
. При этом отрезок NN'
равен половине высоты данного правильного тетраэдра, т. е. NN'=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}
, а отрезок KN'
равен расстоянию от основания H
высоты DH
тетраэдра до вершины C
, т. е. KN'=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Из прямоугольного треугольника NN'K
находим, что
\tg\angle NKN'=\frac{NN'}{KN'}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.