14544. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. Найдите объём многогранника, вершины которого — середины рёбер AB
, AD
, AA'
, CC'
, C'B'
, C'D'
, если известно что ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть E
, F
, G
, K
, L
, M
— середины рёбер AB
, AD
, AA'
, CC'
, C'B'
, C'D'
соответственно. Объём многогранника, о котором говорится в условии, равен сумме объёмов равновеликих четырёхугольных пирамид с общим основанием EGKM
и вершинами F
и L
.
Докажем, что EGKM
— прямоугольник. Действительно,
EG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}B_{1}D_{1}=KL
и EG\parallel KL
, поэтому EGKM
— параллелограмм, а так как
EK=AD_{1}=AB_{1}=GM,
то диагонали этого параллелограмма равны. Следовательно, это прямоугольник.
Пусть X
и Y
— середины KL
и MN
соответственно, а прямая XY
пересекается с продолжением бокового ребра AA'
в точке P
. Тогда
AY=C'X=\frac{\sqrt{2}}{4},~A'X=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Треугольник AYP
подобен треугольнику A'XP
с коэффициентом \frac{AY}{A'X}=\frac{1}{3}
, поэтому
AP=\frac{1}{2}AA'=\frac{1}{2}.
Значит, AP=AF
, а \frac{FP}{A_{1}P}=\frac{2}{3}
. Следовательно, расстояние h
от точки F
до плоскости прямоугольника EGKM
равно \frac{2}{3}
расстояния h_{1}
от точки A'
до этой плоскости (см. задачу 9180), а объём V
пирамиды FEGKM
с вершиной F
равен \frac{2}{3}
объёма V_{1}
пирамиды A'EGKM
с вершиной A'
.
Поскольку
EG=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}~\mbox{и}~EM=\sqrt{EB^{2}+BB'^{2}+B'M^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},
то
S_{EGKL}=EG\cdot EM=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Боковые рёбра пирамиды четырёхугольной пирамиды A'EGKL
с вершиной A'
равны между собой и равны \frac{\sqrt{5}}{2}
, поэтому её высота h_{1}
проходит через центр прямоугольника EGKL
(см. задачу 7163), и
h_{1}=\sqrt{A'E^{2}-\frac{1}{4}EK^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Значит,
V_{1}=\frac{1}{3}S_{EGKL}\cdot h_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4},
V=\frac{2}{3}V_{1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.
Следовательно, объём многогранника, о котором говорится в условии, равен 2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, № 6, вариант 203