14547. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины рёбер AB
и AA'
, и прямой, проходящей через середины рёбер BB'
и B'C'
, если ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины рёбер AB
, AA'
, BB'
и B'C'
соответственно. Докажем, что точки K
и L
лежат в плоскости, проходящей через центр O
куба перпендикулярно его диагонали DB'
. Действительно, отрезок OK
— средняя линия треугольника ABC'
, поэтому OK\parallel BC'
. В то же время, из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что BC'\perp DB'
. Значит, OK\perp DB'
, и точка K
лежит в указанной плоскости. Аналогично для точки L
.
Пусть E
— середина ребра A'B'
. По признаку параллельности плоскостей плоскость EMN
параллельна плоскости A'BC'
, а так как плоскость A'BC'
перпендикулярна диагонали DB'
, то плоскость EMN
перпендикулярна DB'
. Следовательно, прямые KL
и MN
лежат в плоскостях, перпендикулярных прямой DB'
, т. е. в параллельных плоскостях. Тогда расстояние между прямыми KL
и MN
равно расстоянию между этими плоскостями, т. е. длине отрезка OG
, где G
— центр равностороннего треугольника EMN
.
Диагональ DB'
куба проходит через точку пересечения медиан треугольника A'BC'
, делится этой точкой в отношении 1:2
, считая от вершины B'
, и перпендикулярна плоскости A'BC'
(см. задачи 7212 и 7300). Тогда, точка G
(как середина отрезка B'O
) делит диагональ DB'
в отношении 1:5
, считая от точки B'
. Следовательно, искомое расстояние OG
между плоскостями, а значит, между прямыми KL
и MN
, равно
B'O-B'G=\frac{1}{2}DB'-\frac{1}{6}DB'=\frac{1}{3}DB'=\frac{\sqrt{3}}{3}.