14547. Дан куб
ABCDA'B'C'D'
с основанием
ABCD
и боковыми рёбрами
AA'
,
BB'
,
CC'
,
DD'
. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины рёбер
AB
и
AA'
, и прямой, проходящей через середины рёбер
BB'
и
B'C'
, если ребро куба равно 1.
Ответ.
\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть
K
,
L
,
M
и
N
— середины рёбер
AB
,
AA'
,
BB'
и
B'C'
соответственно. Докажем, что точки
K
и
L
лежат в плоскости, проходящей через центр
O
куба перпендикулярно его диагонали
DB'
. Действительно, отрезок
OK
— средняя линия треугольника
ABC'
, поэтому
OK\parallel BC'
. В то же время, из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что
BC'\perp DB'
. Значит,
OK\perp DB'
, и точка
K
лежит в указанной плоскости. Аналогично для точки
L
.
Пусть
E
— середина ребра
A'B'
. По признаку параллельности плоскостей плоскость
EMN
параллельна плоскости
A'BC'
, а так как плоскость
A'BC'
перпендикулярна диагонали
DB'
, то плоскость
EMN
перпендикулярна
DB'
. Следовательно, прямые
KL
и
MN
лежат в плоскостях, перпендикулярных прямой
DB'
, т. е. в параллельных плоскостях. Тогда расстояние между прямыми
KL
и
MN
равно расстоянию между этими плоскостями, т. е. длине отрезка
OG
, где
G
— центр равностороннего треугольника
EMN
.
Диагональ
DB'
куба проходит через точку пересечения медиан треугольника
A'BC'
, делится этой точкой в отношении
1:2
, считая от вершины
B'
, и перпендикулярна плоскости
A'BC'
(см. задачи 7212 и 7300). Тогда, точка
G
(как середина отрезка
B'O
) делит диагональ
DB'
в отношении
1:5
, считая от точки
B'
. Следовательно, искомое расстояние
OG
между плоскостями, а значит, между прямыми
KL
и
MN
, равно
B'O-B'G=\frac{1}{2}DB'-\frac{1}{6}DB'=\frac{1}{3}DB'=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, № 6, вариант 206