14552. В правильную треугольную призму с основаниями ABC
и A'B'C'
вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми AE
и BD
равно \sqrt{13}
, где E
и D
— точки, лежащие на рёбрах A'B'
и B'C'
соответственно, и A'E:EB'=B'D:DC'=1:2
.
Ответ. \frac{13}{6}
.
Решение. Первый способ. Пусть радиус сферы равен R
. Тогда высота призмы равна диаметру сферы, т. е. AA'=2R
, а радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник A'B'C'
, равен R
. Значит, сторона основания призмы равна 2R\sqrt{3}
.
На продолжении ребра A'B'
за точку B'
отложим отрезок B'K=\frac{1}{3}A'B'=\frac{2R\sqrt{3}}{3}
. Тогда AB=KE
и AB\parallel KE
, поэтому ABKE
— параллелограмм, и BK\parallel AE
. Значит, прямая AE
параллельна плоскости BKD
, а расстояние между прямыми AE
и BD
равно расстоянию от любой точки прямой AE
, например, от точки E
до этой плоскости (см. задачу 7889). В то же время, точка B'
лежит на наклонной EK
к плоскости BKD
, причём B'K:EK=1:3
, поэтому расстояние h
от точки B'
до плоскости BKD
равно трети расстояния до этой плоскости от точки E
, т. е. h=\frac{\sqrt{13}}{3}
.
Выразим это расстояние через R
. Пусть M
— середина основания DK
равнобедренного треугольника DB'K
. Тогда
B'M=\frac{1}{2}B'D=\frac{R\sqrt{3}}{3},~BM=\sqrt{B'M^{2}+BB'^{2}}=\sqrt{\frac{R^{2}}{2}+4R^{2}}=\frac{R\sqrt{13}}{\sqrt{3}}.
Пусть B'H
— высота прямоугольного треугольника BB'M
. Тогда B'H
— перпендикуляр к плоскости BDK
, поэтому расстояние от точки B'
до плоскости BKD
равно длине отрезка B'H
. Значит (см. задачу 1967),
h=B'H=\frac{BB'\cdot B'M}{BM}=\frac{2R\cdot\frac{R\sqrt{3}}{3}}{\frac{R\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}=\frac{2R}{\sqrt{13}},
Следовательно,
R=\frac{h\sqrt{13}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{13}}{3}\cdot\sqrt{13}}{2}=\frac{13}{6}.
Второй способ. Обозначим через d
расстояние между прямыми AE
и BD
(по условию d=\sqrt{13}
). Пусть F
и F'
— середины рёбер AC
и A'C'
соответственно. По теореме Фалеса A'E':E'F'=F'D':D'C'=1:2
. Значит, E'D'=A'F'=AF
, а так как E'D'\parallel AF
, то AFF'E'
— параллелограмм, поэтому AE'\parallel FD'
. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости AEF'
и BFD'D
параллельны. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми AE
и BD
равно расстоянию между этими плоскостями. Точка F
— середина AC
, поэтому точки A
и C
равноудалены от плоскости BFD'D
.
Пусть CP
— перпендикуляр к прямой FD'
. Поскольку BF
— перпендикуляр к плоскости ACC'A'
, то BF\perp CP
, значит, CP
— перпендикуляр к плоскости BFD'D
, и расстояние от точки C
до этой плоскости равно длине отрезка CP
.
Заметим, что ребро основания призмы равно диаметру сферы, т. е. 2R
, а ребро основания призмы равно 2R\sqrt{3}
. Пусть N
— точка пересечения прямых CC'
и FD'
. Тогда прямоугольные треугольники NC'D'
и NCF
подобны с коэффициентом
\frac{C'D'}{CF}=\frac{\frac{2}{3}R\sqrt{3}}{R\sqrt{3}}=\frac{2}{3},
поэтому NC'=2CC'=4R
и NC=6R
.
Отрезок CP
— высота прямоугольного треугольника NCF
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1967)
\sqrt{13}=d=CP=\frac{CN\cdot CF}{NF}=\frac{6R\cdot R\sqrt{3}}{R\sqrt{36+3}}=\frac{6R}{\sqrt{13}}.
Следовательно,
R=\frac{\sqrt{13}}{\frac{6}{\sqrt{13}}}=\frac{13}{6}.