14553. В правильную треугольную призму с основаниями ABC
и A'B'C'
вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми A'K
и B'L
равно \sqrt{21}
, где K
и L
— точки, лежащие на рёбрах AB
и BC
соответственно, и AK:KB=BL:LC=2:3
.
Ответ. \frac{14}{5}
.
Решение. Первый способ. Пусть радиус сферы равен R
. Тогда высота призмы равна диаметру сферы, т. е. BB'=2R
, а радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник ABC
, равен R
. Значит, сторона основания призмы равна 2R\sqrt{3}
.
На продолжении ребра AB
за точку B
отложим отрезок BQ=\frac{2}{5}AB=\frac{4R\sqrt{3}}{5}
. Тогда A'B'=QK
и A'B'\parallel QK
, поэтому A'B'QK
— параллелограмм, и B'KQ\parallel A'K
. Значит, прямая A'K
параллельна плоскости B'QL
, а расстояние между прямыми A'K
и B'L
равно расстоянию от любой точки прямой A'K
, например, от точки K
до этой плоскости (см. задачу 7889). В то же время, точка B
лежит на наклонной KQ
к плоскости B'QL
, причём BQ:KQ=2:5
, поэтому расстояние h
от точки B
до плоскости B'QL
равно \frac{2}{5}
расстояния до этой плоскости от точки K
, т. е. h=\frac{2\sqrt{21}}{5}
.
Выразим это расстояние через R
. Пусть M
— середина основания QL
равнобедренного треугольника QB'L
. Тогда
BM=\frac{1}{2}BL=\frac{2R\sqrt{3}}{5},~B'M=\sqrt{BM^{2}+BB'^{2}}=\sqrt{\frac{12R^{2}}{25}+4R^{2}}=\frac{4R\sqrt{7}}{5}.
Пусть BH
— высота прямоугольного треугольника BB'M
. Тогда BH
— перпендикуляр к плоскости B'QL
, поэтому расстояние от точки B
до плоскости BKD
равно длине отрезка BH
. Значит (см. задачу 1967),
h=BH=\frac{BB'\cdot BM}{B'M}=\frac{2R\cdot\frac{2R\sqrt{3}}{5}}{\frac{4R\sqrt{7}}{5}}=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{7}},
Следовательно,
R=\frac{h\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{2\sqrt{21}}{5}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{14}{5}.
Второй способ. Обозначим через d
расстояние между прямыми A'K
и B'L
(по условию d=\sqrt{21}
). Пусть F
и F_{1}
— середины рёбер A'C'
и AC
соответственно. По теореме Фалеса AK:K_{1}F_{1}=F_{1}L_{1}:L_{1}C=2:3
. Значит, K_{1}L_{1}=AF_{1}=A'F
, а так как K_{1}L_{1}\parallel A'F
, то A'FL_{1}K_{1}
— параллелограмм, поэтому A'K_{1}\parallel FL_{1}
. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости A'KK_{1}
и B'FL_{1}L
параллельны. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми A'K
и B'L
равно расстоянию между этими плоскостями. Точка F
— середина A'C'
, поэтому точки A'
и C'
равноудалены от плоскости B'FL_{1}L
.
Пусть CP'
— перпендикуляр к прямой FL_{1}
. Поскольку B'F
— перпендикуляр к плоскости ACC'A'
, то B'F\perp C'P
, значит, C'P
— перпендикуляр к плоскости B'FL_{1}L
, и расстояние от точки C'
до этой плоскости равно длине отрезка C'P
.
Заметим, что ребро основания призмы равно диаметру сферы, т. е. 2R
, а ребро основания призмы равно 2R\sqrt{3}
. Пусть N
— точка пересечения прямых CC'
и FL_{1}
. Тогда прямоугольные треугольники NCL_{1}
и NC'F
подобны с коэффициентом \frac{CL_{1}}{C'F}=\frac{3}{5}
, поэтому C'N=\frac{5}{2}CC'=5R
.
Отрезок C'P
— высота прямоугольного треугольника NC'F
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1967)
\sqrt{21}=d=C'P=\frac{C'N\cdot C'F}{NF}=\frac{5R\cdot R\sqrt{3}}{R\sqrt{25+3}}=\frac{5R\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
Следовательно,
R=\frac{\sqrt{21}}{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}=\frac{14}{5}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2015, № 7, вариант 4