14557. Основание прямой призмы — правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна \sqrt{2}
. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Пусть равносторонние треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
со стороной 1 — основания прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=\sqrt{2}
. Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми BA_{1}
и CB_{1}
.
На продолжении ребра AB
за точку B
отложим отрезок BM=AB=1
. Тогда BMB_{1}A_{1}
— параллелограмм, поэтому BA_{1}\parallel MB_{1}
. Значит, прямая BA_{1}
параллельна плоскости CB_{1}M
. Тогда расстояние d
между скрещивающимися прямыми BA_{1}
и CB_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой BA_{1}
, например, от точки B
, до этой плоскости (см. задачу 7889).
Пусть BP
— высота равнобедренного треугольника CBM
с углом 30^{\circ}
при основании CM
. Тогда BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}
. По теореме о трёх перпендикулярах B_{1}P\perp CM
, поэтому прямая CM
перпендикулярна плоскости PBB_{1}
. Значит, эта прямая перпендикулярна высоте BH
прямоугольного треугольника PBB_{1}
. Тогда прямая BH
перпендикулярна пересекающимся прямым B_{1}P
и CM
плоскости CB_{1}M
. Следовательно, BH
— перпендикуляр к этой плоскости, и расстояние от точки B
до плоскости CB_{1}M
равно длине отрезка BH
.
Из прямоугольного треугольника PBB_{1}
находим (см. задачу 1967), что
d=BH=\frac{BP\cdot BB_{1}}{PB_{1}}=\frac{BP\cdot BB_{1}}{\sqrt{BP^{2}+BB_{1}^{2}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Примечание. Также можно воспользоваться методом координат.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2014, № 7, вариант 1