14562. Основание прямой призмы ABCA'B'C'
— прямоугольный треугольник ABC
, в котором AC=BC=1
. На ребре A'C'
верхнего основания (параллельном AC
) отмечена точка D
, причём A'D:DC'=2:1
. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр AB'CD
, если высота призмы равна 1.
Ответ. \left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{11}}{3}+\frac{\sqrt{14}}{3}\right)^{-1}
.
Решение. Поскольку прямая BB'
параллельна плоскости грани AA'C'C
, тетраэдр AB'CD
равновелик тетраэдру ABCD
с высотой BC
, основанием ACD
и объёмом
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ACD}\cdot BC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot AA'\cdot BC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot1=\frac{1}{6}.
Пусть S
— полная поверхность тетраэдра ABC'D
, а r
— искомый радиус вписанной в него сферы. Тогда (см. задачу 7185)
r=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot\frac{1}{6}}{S}=\frac{1}{2S}.
Таким образом, задача сводится к нахождению полной поверхности тетраэдра AB'CD
.
Поскольку высота треугольника ACD
, проведённая из вершины D
, равна 1, то
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AA'=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=\frac{1}{2}.
По теореме о трёх перпендикулярах B'C\perp AC
, поэтому треугольник ACB'
прямоугольный с катетами CB'=\sqrt{2}
и B'C'=\sqrt{2}
, поэтому
S_{\triangle ACB'}=\frac{1}{2}AC\cdot CB'=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Пусть C'K
— высота прямоугольного треугольника DC'B'
. Тогда (см. примечание к задаче 1967)
C'K=\frac{C'D\cdot B'C'}{B'D}=\frac{\frac{1}{3}\cdot1}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}==\frac{1}{\sqrt{10}},
Из прямоугольного треугольника CC'K
находим, что
CK=\sqrt{CC'^{2}+C'K^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{10}}.
По теореме о трёх перпендикулярах CK\perp B'D
, значит,
S_{\triangle CDB'}=\frac{1}{2}B'D\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{11}}{6}.
Пусть A'N
— перпендикуляр к прямой B'D
. Прямоугольные треугольники A'ND
и C'KD
подобны с коэффициентом \frac{A'D}{C'D'}=2
, поэтому
A'N=2C'K=\frac{2}{\sqrt{10}}.
Аналогично проделанному ранее находим, что
AN=\sqrt{AA'^{2}+A'N^{2}}=\sqrt{1+\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}},
Значит,
S_{\triangle ADB'}=\frac{1}{2}B'D\cdot AN=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{14}}{6}.
Тогда
S=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle AB'C}+S_{\triangle CDB'}+S_{\triangle ADB'}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{11}}{6}+\frac{\sqrt{14}}{6}.
Следовательно,
r=\frac{1}{2S}=\frac{1}{2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{11}}{6}+\frac{\sqrt{14}}{6}\right)}=\frac{1}{1+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{11}}{3}+\frac{\sqrt{14}}{3}}.