14573. В пространственном четырёхугольнике ABCD
суммы противоположных сторон равны. Докажите, что существует сфера, касающаяся всех его сторон и диагонали AC
.
Решение. Пусть вписанные окружности треугольников ABC
и ADC
касаются общей стороны AC
в точках P_{1}
и P_{2}
соответственно. Тогда (см. задачу 219)
AP_{1}=\frac{AC+AB-BC}{2},~AP_{2}=\frac{AC+AD-CD}{2},
а так как по условию AB+CD=AD+BC
, то AB-BC=AD-CD
, поэтому AP_{1}=AP_{2}
. Значит, точки P_{1}
и P_{2}
совпадают, т. е. вписанные окружности треугольников ABC
и ADC
, лежащие в разных плоскостях, касаются отрезка AC
в одной и той же точке. Тогда (см. задачу 14574б) эти окружности лежат на одной сфере, и эта сфера касается всех его сторон четырёхугольника ABCD
и его диагонали AC
.